Найти пересечения прямой (2х-к+2z-1=0 и х+2у-z=0) и плоскости 4х+3у+3z+2=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения пересечения линии и плоскости сначала выразим параметры линии из уравнения прямой и затем подставим их в уравнение плоскости.

Запишем уравнения прямой.

У нас есть два уравнения, соответствующие прямой:
[
2x - k + 2z - 1 = 0 \quad (1)
]
[
x + 2y - z = 0 \quad (2)
]

Выразим (z) через (x) и (y).

Из уравнения (2) мы можем выразить (z):
[
z = x + 2y \quad (3)
]

Теперь подставим (3) в уравнение (1):
[
2x - k + 2(x + 2y) - 1 = 0
]
Раскроем скобки и упрощаем:
[
2x - k + 2x + 4y - 1 = 0
]
[
4x + 4y - k - 1 = 0 \quad (4)
]

Теперь выразим (y) через (x) из уравнения (4): [
4y = k + 1 - 4x
]
[
y = \frac{k + 1 - 4x}{4} \quad (5)
]

Следующий шаг — выразить переменные через параметр (x).

Теперь подставим (3) и (5) в уравнение плоскости:
[
4x + 3\left(\frac{k + 1 - 4x}{4}\right) + 3(x + 2\left(\frac{k + 1 - 4x}{4}\right)) + 2 = 0
]

Упростим и преобразуем это уравнение:

Приведем все к одному знаменателю (4):
[
4x + \frac{3(k + 1 - 4x)}{4} + 3\left(x + \frac{2(k + 1 - 4x)}{4}\right) + 2 = 0
]
Умножим всё на 4 чтобы избавиться от дробей:
[
16x + 3(k + 1 - 4x) + 12(x + 2(k + 1 - 4x)) + 8 = 0
]

Теперь раскроем скобки:
[
16x + 3k + 3 - 12x + 12x + 24(k + 1) - 48x + 8 = 0
]
Объединим подобные:
[
(16x - 12x - 48x + 12x) + 3k + 24k + 3 + 24 + 8 = 0
]
Приведем к общему виду:
[
-32x + 27k + 35 = 0
]

Найдем значения: Выразим (x) через (k) (если нужно):
[
32x = 27k + 35
]
[
x = \frac{27k + 35}{32}
]

Теперь у нас есть параметрическое уравнение пересечения прямой и плоскости. С помощью данного значения (x) можно найти соответствующие (y) и (z) из (3) и (5).