Найти пересечения прямой (2х-к+2z-1=0 и х+2у-z=0) и плоскости 4х+3у+3z+2=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения пересечения линии и плоскости сначала выразим параметры линии из уравнения прямой и затем подставим их в уравнение плоскости.

Запишем уравнения прямой.

У нас есть два уравнения, соответствующие прямой

2x - k + 2z - 1 = 0 \quad (1

x + 2y - z = 0 \quad (2
]

Выразим (z) через (x) и (y).

Из уравнения (2) мы можем выразить (z)

z = x + 2y \quad (3
]

Теперь подставим (3) в уравнение (1)

2x - k + 2(x + 2y) - 1 =

Раскроем скобки и упрощаем

2x - k + 2x + 4y - 1 =

4x + 4y - k - 1 = 0 \quad (4
]

Теперь выразим (y) через (x) из уравнения (4):
4y = k + 1 - 4

y = \frac{k + 1 - 4x}{4} \quad (5
]

Следующий шаг — выразить переменные через параметр (x).

Теперь подставим (3) и (5) в уравнение плоскости

4x + 3\left(\frac{k + 1 - 4x}{4}\right) + 3(x + 2\left(\frac{k + 1 - 4x}{4}\right)) + 2 =
]

Упростим и преобразуем это уравнение:

Приведем все к одному знаменателю (4)

4x + \frac{3(k + 1 - 4x)}{4} + 3\left(x + \frac{2(k + 1 - 4x)}{4}\right) + 2 =

Умножим всё на 4 чтобы избавиться от дробей

16x + 3(k + 1 - 4x) + 12(x + 2(k + 1 - 4x)) + 8 =
]

Теперь раскроем скобки

16x + 3k + 3 - 12x + 12x + 24(k + 1) - 48x + 8 =

Объединим подобные

(16x - 12x - 48x + 12x) + 3k + 24k + 3 + 24 + 8 =

Приведем к общему виду

-32x + 27k + 35 =
]

Найдем значения: Выразим (x) через (k) (если нужно)

32x = 27k + 3

x = \frac{27k + 35}{32
]

Теперь у нас есть параметрическое уравнение пересечения прямой и плоскости. С помощью данного значения (x) можно найти соответствующие (y) и (z) из (3) и (5).