Математика, олимпиада сириус Имеется восемь одинаковых игральных кубиков, на гранях которых написаны натуральные числа от 1 до 6. Кубики таковы, что на любой паре противоположных граней написаны числа, отличающиеся на 3. Из этих восьми кубиков собрали куб размером 2 х 2 х 2 так, что сумма чисел на любых двух прислонённых друг к другу гранях оказалась равна 7.
При этом сумма чисел на верхней грани этого большого куба равна 10. Найдите сумму чисел на нижней его грани.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи, давайте сначала проанализируем условия.

У нас есть восемь игральных кубиков, на гранях которых написаны натуральные числа от 1 до 6, и на любой паре противоположных граней написаны числа, отличающиеся на 3. Это означает, что грани кубика могут быть следующими парами:

(1, 4)(2, 5)(3, 6)

Теперь нам важно учитывать, что сумма чисел на любых двух прислонённых гранях большого куба равна 7. Если обозначим числа на гранях большого куба как ( a, b, c, d, e, f, g, h ), где ( a ) — верхняя грань, ( b ) — нижняя грань, и остальные обозначены соответственно, то для пар прислонённых граней мы можем записать следующие уравнения:

Если верхняя грань ( a = 4 ), тогда снизу ( b = 3 ) (поскольку 4 + 3 = 7).Если ( a = 5 ), то ( b = 2 ).Если ( a = 6 ), то ( b = 1 ).Если ( a = 3 ), то ( b = 4 ).Если ( a = 2 ), то ( b = 5 ).Если ( a = 1 ), то ( b = 6 ).

По условию задачи, мы знаем, что сумма чисел на верхней грани равна 10. Поскольку верхняя грань состоит из 4 углов (граней), наиболее вероятно, что она сформирована числами ( a_1, a_2, a_3, a_4 ), каждое из которых надо будет подбирать так, чтобы их сумма дала 10.

Однако мы также можем заметить, что верно следующее:

Верхняя грань может иметь только 4 или 5, так как на противоположных гранях нужно подбирать такие числа получить в сумме 7.

Если допустимо, давайте подберём комбинации:

Если верхняя грань ( a = 5 ), тогда грани ( e, f, g, h = 2, 2, 2, 2 ). Сумма в этом случае: ( 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ), но это не будет равно 10.

Если попробовать ( a = 6 ), грани могут быть ( 1, 1, 1, 1 ) (в наведенному кубе) — не подходит, так всё 1.

Можно взять комбинацию ( 4, 3 ) другом, которая делает кумуляцию 10.

Подставим эти грани, используя условие. Используя комбинацию (4, 2, 2, 2), и записывая в каждой из нужных гранях.

Для каждой грани (e, f, g, h) конектируется либо наоборот:
Теперь сумма частей составила (10). Сначала мы получим:
a = 4, b = 3.
Если сумма (4 + 3 + 2 + 1 = 10).

Каждая из сторон не выходит за 3 разнобразия и съеденяется:

Сумма обменов у нас (e + f + g + h = 10).

Суммируя вверх замечаем, снизу — приветствуя (b = 3 + 3):
На нижней будет 4 если разъединим, так что на дне будет 4.

Теперь мы можем с уверенностью ответить, что сумма чисел на нижней грани составляет 4.