Олимпиада сириус, Математика Дан треугольник АВС с углом В, равным 60°. В точках А и С провели две касательные к описанной окружности АВС, пересекающиеся в точке Р. Перпендикуляр к ВС, восстановленный в точке С, пересекает прямую АВ в точке Q. Найдите LCQ₽, если LBAC = 80°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим треугольник ABC с углом B равным 60°. Обозначим угол A как α и угол C как γ. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы имеем:

[
α + 60° + γ = 180°.
]

Следовательно,

[
α + γ = 120°.
]

Точки A и C являются точками касания сторон треугольника ABC с описанной окружностью, и касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке P. При этом прямая PC будет перпендикулярна стороне BC.

Нам также нужно создать перпендикуляр к BC из точки C, который пересекает прямую AB в точке Q.

Мы знаем, что ( LBAC = 80° ). Углом BAC обозначается угол в точке A, что приводит к следующему равенству:

[
LBAC = α = 80°.
]

Тогда угол C будет равен:

[
γ = 120° - 80° = 40°.
]

Известно, что угол между касательной и хордой равен углу на противоположной стороне, следовательно, угол PCA будет равен углу C:

[
∠PCA = γ = 40°.
]

Таким образом, в треугольнике CQB мы можем найти угол CQB:

[
∠CQP = 90° - ∠PCA = 90° - 40° = 50°.
]

Таким образом, в треугольнике CQP:

[
∠CQP + ∠CQB + ∠QCP = 180°.
]

где ( CQB ) является искомым углом. Таким образом, имеем:

[
50° + ∠CQB + 90° = 180° \implies ∠CQB = 180° - 140° = 40°.
]

Следовательно, LCQ₽ (где L - длина отрезка CQ) равно:

[
∠CQB = 40°.
]

С учетом вышеизложенного, мы можем заключить, что:

[
LCQ₽ = 40°.
]

Надеюсь, это правильное объяснение. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь их задавать!