Олимпида сириус, математика Сколько существует таких троек натуральных чисел (А, В, N), что А + В = 62, а В больше А ровно на N процентов?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте решим задачу, где (A), (B) и (N) - натуральные числа, такие что (A + B = 62) и (B) больше (A) ровно на (N) процентов.

По условию, можно записать, что:

[
B = A + \frac{N}{100} \cdot A = A \left(1 + \frac{N}{100}\right)
]

Теперь подставим выражение для (B) в уравнение (A + B = 62):

[
A + A \left(1 + \frac{N}{100}\right) = 62
]

Упрощаем:

[
A \left(1 + 1 + \frac{N}{100}\right) = 62
]

[
A \left(2 + \frac{N}{100}\right) = 62
]

Теперь выразим (A):

[
A = \frac{62}{2 + \frac{N}{100}} = \frac{6200}{200 + N}
]

Так как (A) должно быть натуральным числом, (6200) должно делиться на (200 + N). Это значит, что (200 + N) должно быть делителем (6200).

Теперь найдем все делители числа (6200). Для этого найдем его разложение на простые множители:

[
6200 = 62 \times 100 = 62 \times 10^2 = (2 \times 31) \times (2^2 \times 5^2) = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 31
]

Общее количество делителей можно найти по формуле для делителей: если (n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}), то количество делителей:

[
d(n) = (k_1 + 1)(k_2 + 1) \cdots (k_m + 1)
]

В нашем случае:

[
d(6200) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24
]

Теперь найдем все делители (6200):

Делители (6200): (1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 31, 40, 62, 100, 124, 155, 200, 310, 620, 1240, 1550, 3100, 6200).

Теперь для каждый делитель (d):

[
200 + N = d \implies N = d - 200
]

Нам нужны такие (N), что они будут натуральными (то есть (N > 0)).

Проверяем делители:

(d = 201 \Rightarrow N = 1)(d = 202 \Rightarrow N = 2)(d = 204 \Rightarrow N = 4)(d = 205 \Rightarrow N = 5)(d = 208 \Rightarrow N = 8)(d = 210 \Rightarrow N = 10)(d = 220 \Rightarrow N = 20)(d = 225 \Rightarrow N = 25)(d = 231 \Rightarrow N = 31)(d = 240 \Rightarrow N = 40)(d = 262 \Rightarrow N = 62)(d = 300 \Rightarrow N = 100)(d = 324 \Rightarrow N = 124)(d = 355 \Rightarrow N = 155)(d = 400 \Rightarrow N = 200)(d = 510 \Rightarrow N = 310)(d = 820 \Rightarrow N = 620)(d = 1240 \Rightarrow N = 1040)(d = 1550 \Rightarrow N = 1350)(d = 3100 \Rightarrow N = 2900)(d = 6200 \Rightarrow N = 6000)

Единственные подходящие (d), которые дают положительное (N) от (201) до (6200) и (N) , на который (N) натуральное число. Таким образом (N \in [1, 6200]).

Мы видим, что подходящие значения (N) имеют:

(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 31, 40, 62, 100, 124, 155, 200, 310, 620, 1240, 1550, 3100, 6200).

Таким образом, ответ на задачу - 24 правильных троек (A, B, N).