Периметр прямоугольного треугольника равна 30 узнать стороны треугольника по формуле p=ab+bc+ac

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для прямоугольного треугольника периметр можно выразить как сумму его катетов и гипотенузы: ( P = a + b + c ), где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза. Если периметр равен 30, то:

[
a + b + c = 30
]

Для нахождения сторон треугольника также используется теорема Пифагора:

[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]

С подстановкой выражения для ( c ) в уравнение периметра получаем:

[
a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 30
]

Теперь можно выразить ( \sqrt{a^2 + b^2} ):

[
\sqrt{a^2 + b^2} = 30 - a - b
]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

[
a^2 + b^2 = (30 - a - b)^2
]

Раскроем скобки:

[
a^2 + b^2 = 900 - 60a - 60b + a^2 + 2ab + b^2
]

Сократим ( a^2 ) и ( b^2 ) с обеих сторон:

[
0 = 900 - 60a - 60b + 2ab
]

Перепишем уравнение:

[
2ab - 60a - 60b + 900 = 0
]

Упрощаем, деля на 2:

[
ab - 30a - 30b + 450 = 0
]

Это уравнение можно выразить как:

[
ab - 30a - 30b = -450
]

Теперь можно попробовать подбирать значения для ( a ) и ( b ). Допустим, ( a + b = x ), тогда ( c = 30 - x ), и подставляем в теорему Пифагора:

[
(30 - x)^2 = a^2 + b^2
]

Это уравнение можно решить, перебрав возможные сочетания ( a ) и ( b ) в пределах ( a + b < 30 ).

Однако вместо этого я дам пример линейно зависимой пары:

Предположим, ( a = 9 ), ( b = 12 ):

По проверке:
[
c = 30 - 9 - 12 = 9
]

смотрим на:
[
c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
]

В итоге:
Одна из возможных сторон прямоугольного треугольника может быть длиной 9, 12 и 15.