Задача на теорию вероятностей Из десяти деталей две бракованные. Для проверки качества деталей случайным образом отбираются три детали. Какова вероятность того, что среди них

а) не будет ни одной бракованной детали;

б) будет одна бракованная деталь; две бракованные детали?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи используем комбинаторику и формулы для вычисления вероятностей.

Всего у нас есть 10 деталей, из которых 2 бракованные и 8 исправных. Мы будем использовать нотацию ( C(n, k) ), которая обозначает количество способов выбрать ( k ) элементов из ( n ) элементов, и вычисляется следующим образом:

[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]

где ( n! ) — факториал ( n ).

Теперь давайте найдем вероятность для каждого случая.

а) Вероятность того, что не будет ни одной бракованной детали:

Чтобы не выбрать ни одной бракованной детали, нам нужно выбрать 3 детали только из 8 исправных. Количество способов выбрать 3 исправные детали из 8:

[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56.
]

Общее количество способов выбрать 3 детали из 10:

[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120.
]

Теперь вероятность того, что среди выбранных деталей не будет ни одной бракованной:

[
P(0 \text{ бракованных}) = \frac{C(8, 3)}{C(10, 3)} = \frac{56}{120} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}.
]

б) Вероятность того, что будет одна бракованная деталь:

Для этого случая нам нужно выбрать 1 бракованную и 2 исправные детали. Количество способов выбрать 1 бракованную из 2:

[
C(2, 1) = 2.
]

Количество способов выбрать 2 исправные детали из 8:

[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28.
]

Общее количество способов выбрать 1 бракованную и 2 исправные детали:

[
C(2, 1) \times C(8, 2) = 2 \times 28 = 56.
]

Теперь вероятность того, что среди выбранных деталей будет одна бракованная:

[
P(1 \text{ бракованная}) = \frac{C(2, 1) \times C(8, 2)}{C(10, 3)} = \frac{56}{120} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}.
]

Вероятность того, что будет две бракованные детали:

Для этого случая нам нужно выбрать 2 бракованные и 1 исправную деталь. Количество способов выбрать 2 бракованные из 2:

[
C(2, 2) = 1.
]

Количество способов выбрать 1 исправную деталь из 8:

[
C(8, 1) = 8.
]

Общее количество способов выбрать 2 бракованные и 1 исправную деталь:

[
C(2, 2) \times C(8, 1) = 1 \times 8 = 8.
]

Теперь вероятность того, что среди выбранных деталей будет 2 бракованные:

[
P(2 \text{ бракованные}) = \frac{C(2, 2) \times C(8, 1)}{C(10, 3)} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}.
]

Ответы:

а) Вероятность того, что не будет ни одной бракованной детали: (\frac{7}{15}).

б) Вероятность того, что будет одна бракованная деталь: (\frac{7}{15}).

в) Вероятность того, что будет две бракованные детали: (\frac{1}{15}).