Решите задачу по математике Сколько натуральных чисел меньше 100, сумма или произведение любых двух из которых не кратко 100?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим задачу детально. Нам нужно найти количество натуральных чисел ( n < 100 ), таких что ни сумма, ни произведение любых двух чисел из чисел ( n ) не кратно 100.

Определение кратности:

Число кратно 100, если оно делится на 100. Сумма ( a + b ) будет кратна 100, если ( (a + b) \mod 100 = 0 ).Произведение ( a \cdot b ) будет кратно 100, если ( (a \cdot b) \mod 100 = 0 ).

Кратность 100:

Для того чтобы произведение ( a \cdot b ) было кратно 100, хотя бы одно из чисел ( a ) или ( b ) должно быть кратно 100. Однако поскольку ( a, b < 100 ), ни одно из чисел не может быть кратно 100.Сумма ( a + b ) будет кратна 100, если ( (a + b) \mod 100 = 0 ). Это возможно, если ( a + b = 100 ), что происходит, когда ( a ) и ( b ) составляют пары, суммирующиеся до 100.

Определим числа:

Числа меньше 100: это числа от 1 до 99.Пары, дающие сумму 100: ( (1, 99), (2, 98), ... , (49, 51) ) и пара ( (50, 50) ). Каждая пара содержит два числа, которые в сумме дают 100.Это означает, что любые два числа, сумма которых равна 100, будут угрожать требованию задачи, поэтому такие числа тоже не могут входить в наш набор.

Исключаем пары:

Пара чисел ( (1, 99) ) — сумма 100.Пара чисел ( (2, 98) ) — сумма 100.Пара чисел ( (3, 97) ) — сумма 100.И так далее, до ( (50, 50) ).

Тогда, чтобы избежать таких ситуаций, можем не включать числа от 51 до 99, так как любые такие числа будут образовывать пары с числами от 1 до 49.

Заключение:
Если выбирать только числа от 1 до 49, их всего 49. Эти числа не образуют сумму равную 100 между собой.При добавлении любого числа от 50 до 99 начнутся пары, дающие сумму 100.

Таким образом, единственным набором чисел, которые удовлетворяют условиям задачи, будут числа от 1 до 49.

Ответ: 49 натуральных чисел.