ДЗ по геометрии 1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:3, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 96
2. В прямоугольнике АВСД сторона АВ равна 12 см, а угол АВД равен 600. Найдите диагональ АС.
3. В трапеции АВСД основание АД образует с боковыми сторонами АВ и СД углы, равные 700 и 400 . Определите остальные углы трапеции.
4. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите меньший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решим каждую задачу по отдельности.

Биссектрису тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:3. Обозначим стороны параллелограмма как (a) и (b). Поскольку периметр параллелограмма равен 96, мы имеем:

[
2(a + b) = 96 \quad \Rightarrow \quad a + b = 48.
]

Пусть угол (A) - тупой угол. Биссектрису разделяет сторону (BC) на части (m) и (n), такие что (m:n = 2:3). Тогда можем обозначить (m = 2k) и (n = 3k). В этом случае:

[
m + n = BC \quad \Rightarrow \quad 2k + 3k = 5k.
]

В соответствии с тем, что (m+n) (или (BC)) также пропорционально отношениям сторон. Мы знаем, что для параллелограмма биссектрисы тупого угла имеет вид:

[
\frac{a}{b} = \frac{m}{n} = \frac{2}{3}.
]

Таким образом:

[
\frac{a}{b} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2}{3}b.
]

Подставив это значение в уравнение для периметра:

[
\frac{2}{3}b + b = 48 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{3}b = 48 \quad \Rightarrow \quad b = 48 \times \frac{3}{5} = 28.8.
]

Теперь найдем значение (a):

[
a = \frac{2}{3} b = \frac{2}{3} \cdot 28.8 = 19.2.
]

Таким образом, большая сторона параллелограмма равна (b = 28.8).

В прямоугольнике (ABCD) сторона (AB = 12) см, угол (AVD = 60^\circ). Найдем диагональ (AC).

Используем теорему косинусов:

[
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle AVD).
]

Сначала найдем длину стороны (AD) по Пифагору, так как (AB \perp AD):

[
AC^2 = AB^2 + AD^2 = 12^2 + AD^2.
]

В этом случае использовать коэффициенты нам не подходит. Используем прямую формулу для нахождения диагонали (AC) через треугольник (ABD):

[
AC = \sqrt{AB^2 + AD^2}.
]

В треугольнике (ABD) первый улучшенный способ показывает:

[
AC = \sqrt{12^2 + 12\sqrt{3}^2} = \sqrt{144 + 108} = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}.
]
Как приблизительно так:

[
AC \approx 15.49 см.
]

В трапеции (ABCD) основание (AD) образует с боковыми сторонами (AB) и (CD) углы (70^\circ) и (40^\circ). Остальные углы равны:

[
\angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ,
]

[
\angle BCD = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ.
]

Таким образом, остальные углы трапеции:

(\angle ABC = 110^\circ) и (\angle BCD = 140^\circ).

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Пусть одна сторона равна (a), тогда диагональ будет равна (2a).

Используем теорему Пифагора:

[
AC^2 = AB^2 + AD^2 \quad \Rightarrow \quad (2a)^2 = a^2 + b^2.
]

Тогда пусть другая сторона будет равна (b). Подставляем:

[
4a^2 = a^2 + b^2 \quad \Rightarrow \quad 3a^2 = b^2 \quad \Rightarrow \quad b = a\sqrt{3}.
]

Теперь найдем углы, образованные диагональю с сторонами:

[
\cos(\angle A) = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \angle A = 60^\circ.
]

Таким образом, меньший из углов, образованный диагональю со сторонами, равен (30^\circ) и (60^\circ).

Теперь у нас есть решения для всех задач.