Гипотенуза равнобедренного треугольника равна 24 см квадрат вписан в треугольник так что две его вершины лежат на... Гипотенуза равнобедренного треугольника равна 24 см квадрат вписан в треугольник так что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие на катетах. найдите сторону квадрата

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим сторону вписанного квадрата как ( x ).

Для нахождения стороны квадрата мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и конструкцию квадрата, вписанного в него. Предположим, что равнобедренный треугольник имеет два катета ( a ) и гипотенузу ( c = 24 ) см.

Сначала найдем длину катетов. Поскольку треугольник равнобедренный, по теореме Пифагора можем записать:

[
c^2 = a^2 + a^2 \implies 24^2 = 2a^2
]
[
576 = 2a^2 \implies a^2 = 288 \implies a = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \text{ см}
]

Теперь, чтобы найти сторону квадрата ( x ), мы можем использовать следующее соотношение для вписанного квадрата в равнобедренный треугольник:

[
x = \frac{a^2}{a + h}
]

где ( h ) — высота треугольника. Высоту ( h ) равнобедренного треугольника можно найти через катеты:

[
h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{24^2 - \left(12\sqrt{2}/2\right)^2} = \sqrt{576 - 72} = \sqrt{504} = 12\sqrt{7}
]

Подставим значение ( a = 12\sqrt{2} ) и ( h = 12\sqrt{7} ):

[
x = \frac{(12\sqrt{2})^2}{12\sqrt{2} + 12\sqrt{7}} = \frac{288}{12(\sqrt{2} + \sqrt{7})} = \frac{24}{\sqrt{2} + \sqrt{7}}
]

После умножения числителя и знаменателя на ( \sqrt{2} - \sqrt{7} ) получаем:

[
x = \frac{24(\sqrt{2} - \sqrt{7})}{(\sqrt{2} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{7})} = \frac{24(\sqrt{2} - \sqrt{7})}{2 - 7} = \frac{24(\sqrt{2} - \sqrt{7})}{-5} = -\frac{24(\sqrt{2} - \sqrt{7})}{5}
]

Таким образом, сторона квадрата ( x = \frac{24(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{5} ).

Подведем итог: сторона квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с гипотенузой 24 см, равна ( \frac{24(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{5} \approx 4.78 ) см (если подставить ( \sqrt{7} \approx 2.64575 ) и ( \sqrt{2} \approx 1.41421 )).