Найдите все решения неравенства для любого a |x+1|<=ax , a принадлежит R

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения неравенства (|x+1| \leq ax) необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения внутри модуля.

Случай 1: (x + 1 \geq 0) (то есть (x \geq -1))

В этом случае неравенство принимает вид:
[
x + 1 \leq ax.
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
x + 1 - ax \leq 0.
]
Это можно переписать как:
[
(1 - a)x + 1 \leq 0.
]
Решим это неравенство для разных значений (a):

Если (a = 1), то неравенство становится:
[
0 \cdot x + 1 \leq 0,
]
что неверно, так как 1 не может быть меньше или равно 0. Значит, неравенство не имеет решений.

Если (a < 1), тогда (1 - a > 0) и неравенство станет:
[
(1 - a)x \leq -1,
]
что эквивалентно:
[
x \leq \frac{-1}{1-a}.
]
Учитывая, что (x \geq -1), мы получаем:
[
-1 \leq x \leq \frac{-1}{1-a}.
]

Если (a > 1), тогда (1 - a < 0) и неравенство станет:
[
(1 - a)x \leq -1,
]
что эквивалентно:
[
x \geq \frac{-1}{1-a}.
]
Мы также должны учитывать, что (x \geq -1).

Случай 2: (x + 1 < 0) (то есть (x < -1))

В этом случае неравенство принимает вид:
[
-(x + 1) \leq ax.
]
Упрощаем его:
[
-x - 1 \leq ax,
]
или:
[
-x - ax \leq 1.
]
Переписываем неравенство:
[
-(1 + a)x \leq 1.
]
Теперь решим для режимов:

Если (a + 1 = 0), то неравенство становится:
[
0 \cdot x \leq 1,
]
что всегда верно. Таким образом, все (x < -1) будут решениями.

Если (a + 1 > 0), то (1 + a > 0), условияы:
[
x \geq -\frac{1}{1+a}.
]
Это ограничивает область решений, и так как мы рассматриваем только (x < -1), данное условие определяет верхнюю границу.

Если (a + 1 < 0), то (1 + a < 0) и неравенство превращается в:
[
x \leq -\frac{1}{1+a}.
]

Итоговое решение:

Теперь можем собрать все решения вместе, учитывая пересечения различных случаев и подводя итог следующим образом:

Для (a = 1) неравенство не имеет решений.Для (a < 1):
[
-1 \leq x \leq \frac{-1}{1-a}.
]Для (a > 1):
[
x \geq \frac{-1}{1-a} \text{ и } x < -1.
]

Это конечный результат решения неравенства.