Задача по геометрии Плоскость, параллельная грани ABC тетраэдра DABC , пересекает его боковые рёбра DA , DB и DC в точках M , N и K соответственно. Найди периметр треугольника ABC , если периметр треугольника MNK равен 37 , а DK:KC=2:5 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим длины отрезков, используя заданное соотношение DK:KC=2:5. Пусть длина отрезка DK равна (2x), тогда длина отрезка KC будет (5x).

Таким образом, длина рёбра DC будет равна:
[
DC = DK + KC = 2x + 5x = 7x.
]

Теперь мы можем рассмотреть отношение площадей. Так как плоскость, проходящая через точки M, N и K, параллельна грани ABC тетраэдра DABC, мы можем утверждать, что треугольник MNK подобен треугольнику ABC.

Согласно свойствам подобия треугольников, отношение периметров равных треугольников равно отношению соответствующих сторон:
[
\frac{P{MNK}}{P{ABC}} = \frac{DK}{DC} = \frac{2x}{7x} = \frac{2}{7}.
]

Теперь подставим известный периметр треугольника MNK:
[
\frac{37}{P_{ABC}} = \frac{2}{7}.
]

Теперь умножим обе стороны уравнения на (P{ABC}) и 7:
[
37 \cdot 7 = 2 \cdot P{ABC}.
]

Это приводит нас к:
[
259 = 2 \cdot P_{ABC}.
]

Теперь делим обе стороны на 2:
[
P_{ABC} = \frac{259}{2} = 129.5.
]

Следовательно, периметр треугольника ABC равен:
[
\boxed{129.5}.
]