Задача по математике Сама задача:
а) Докажите, что многочлен x^n-a^n (n принадлежит {N}) делится на многочлен (x-a) и найдите частное от деления. б) Докажите, что многочлен x^{2n+1}+a^{2n+1} (n принадлежит {N}) делится на многочлен (x+a) и найдите частное от деления.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решим задачу по частям.

а) Показать, что многочлен (x^n - a^n) делится на многочлен (x - a) и найти частное от деления.

Мы будем использовать метод деления многочленов. По теореме о делении многочленов, если многочлен (f(x)) делится на многочлен (g(x)), то (f(a) = 0).

Подставим (x = a) в многочлен (x^n - a^n):
[
f(a) = a^n - a^n = 0.
]
Таким образом, (x - a) является делителем (x^n - a^n).

Теперь найдем частное от деления. Мы можем воспользоваться формулой разности кубов (или главной теорией делимости). Многочлен (x^n - a^n) раскладывается на множители:
[
x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \ldots + a^{n-1}).
]
Это видно, если воспользоваться формулой разложения:
[
x^n - a^n = (x - a)Q(x),
]
где (Q(x) = x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \ldots + a^{n-1}).

Таким образом, многочлен (x^n - a^n) делится на (x - a), а частное от деления равно:
[
Q(x) = x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \ldots + a^{n-1}.
]

б) Показать, что многочлен (x^{2n+1} + a^{2n+1}) делится на многочлен (x + a) и найти частное от деления.

Аналогично, используем тот факт, что если (x + a) является делителем, то подставив (x = -a), мы должны получить 0:

Подставим (x = -a):
[
f(-a) = (-a)^{2n+1} + a^{2n+1} = -a^{2n+1} + a^{2n+1} = 0.
]
Это означает, что (x + a) делит (x^{2n+1} + a^{2n+1}).

Найдем частное от деления. Мы можем воспользоваться формулой разности кубов:
[
x^{2n+1} + a^{2n+1} = (x + a)Q(x),
]
где (Q(x)) будет многочленом такой степени, которая на один меньше:
[
Q(x) = x^{2n} - ax^{2n-1} + a^2x^{2n-2} - \ldots + (-1)^{2n} a^{2n}.
]
Это - полный многочлен степени (2n).

Итак, многочлен (x^{2n+1} + a^{2n+1}) делится на (x + a), а частное от деления равно:
[
Q(x) = x^{2n} - ax^{2n-1} + a^2x^{2n-2} - \ldots + (-1)^{2n} a^{2n}.
]

На этом решение задачи завершено. В обоих случаях мы доказали, что многочлены делятся на указанные множители и привели их частные.