Задача по математике Сама задача:
а) Докажите, что многочлен x^n-a^n (n принадлежит {N}) делится на многочлен (x-a) и найдите частное от деления. б) Докажите, что многочлен x^{2n+1}+a^{2n+1} (n принадлежит {N}) делится на многочлен (x+a) и найдите частное от деления.

28 Окт в 19:40
4 +2
0
Ответы
1

Решим задачу по частям.

а) Показать, что многочлен (x^n - a^n) делится на многочлен (x - a) и найти частное от деления.

Мы будем использовать метод деления многочленов. По теореме о делении многочленов, если многочлен (f(x)) делится на многочлен (g(x)), то (f(a) = 0).

Подставим (x = a) в многочлен (x^n - a^n):
[
f(a) = a^n - a^n = 0.
]
Таким образом, (x - a) является делителем (x^n - a^n).

Теперь найдем частное от деления. Мы можем воспользоваться формулой разности кубов (или главной теорией делимости). Многочлен (x^n - a^n) раскладывается на множители:
[
x^n - a^n = (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \ldots + a^{n-1}).
]
Это видно, если воспользоваться формулой разложения:
[
x^n - a^n = (x - a)Q(x),
]
где (Q(x) = x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \ldots + a^{n-1}).

Таким образом, многочлен (x^n - a^n) делится на (x - a), а частное от деления равно:
[
Q(x) = x^{n-1} + x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 + \ldots + a^{n-1}.
]

б) Показать, что многочлен (x^{2n+1} + a^{2n+1}) делится на многочлен (x + a) и найти частное от деления.

Аналогично, используем тот факт, что если (x + a) является делителем, то подставив (x = -a), мы должны получить 0:

Подставим (x = -a):
[
f(-a) = (-a)^{2n+1} + a^{2n+1} = -a^{2n+1} + a^{2n+1} = 0.
]
Это означает, что (x + a) делит (x^{2n+1} + a^{2n+1}).

Найдем частное от деления. Мы можем воспользоваться формулой разности кубов:
[
x^{2n+1} + a^{2n+1} = (x + a)Q(x),
]
где (Q(x)) будет многочленом такой степени, которая на один меньше:
[
Q(x) = x^{2n} - ax^{2n-1} + a^2x^{2n-2} - \ldots + (-1)^{2n} a^{2n}.
]
Это - полный многочлен степени (2n).

Итак, многочлен (x^{2n+1} + a^{2n+1}) делится на (x + a), а частное от деления равно:
[
Q(x) = x^{2n} - ax^{2n-1} + a^2x^{2n-2} - \ldots + (-1)^{2n} a^{2n}.
]

На этом решение задачи завершено. В обоих случаях мы доказали, что многочлены делятся на указанные множители и привели их частные.

28 Окт в 19:43
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 91 580 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир