8x-2y-5=0 и 2x-2y+1=0:3x+y+7=0 и 10x+2y-3=0:x+2y-8=0 и 5x-y+3=0 Вычислить острый угол между прямыми

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти острый угол между прямыми, нужно сначала выразить их в виде угловых коэффициентов и затем использовать формулу для нахождения угла между ними. Формула для вычисления угла (\theta) между двумя прямыми с угловыми коэффициентами (k_1) и (k_2) следующая:

[
\tan(\theta) = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|
]

Где (k_1) и (k_2) — угловые коэффициенты двух прямых.

Теперь давайте найдем угловые коэффициенты для каждой группы прямых:

1. Прямые (8x - 2y - 5 = 0) и (2x - 2y + 1 = 0)

(8x - 2y - 5 = 0)

Приведем к виду (y = kx + b):
[
-2y = -8x + 5 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - \frac{5}{2}
]Угловой коэффициент (k_1 = 4)

(2x - 2y + 1 = 0)

Приведем к виду:
[
-2y = -2x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = x + \frac{1}{2}
]Угловой коэффициент (k_2 = 1)2. Прямые (3x + y + 7 = 0) и (10x + 2y - 3 = 0)

(3x + y + 7 = 0)

Приведем к виду:
[
y = -3x - 7
]Угловой коэффициент (k_3 = -3)

(10x + 2y - 3 = 0)

Приведем к виду:
[
2y = -10x + 3 \quad \Rightarrow \quad y = -5x + \frac{3}{2}
]Угловой коэффициент (k_4 = -5)3. Прямые (x + 2y - 8 = 0) и (5x - y + 3 = 0)

(x + 2y - 8 = 0)

Приведем к виду:
[
2y = -x + 8 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + 4
]Угловой коэффициент (k_5 = -\frac{1}{2})

(5x - y + 3 = 0)

Приведем к виду:
[
-y = -5x - 3 \quad \Rightarrow \quad y = 5x + 3
]Угловой коэффициент (k_6 = 5)Вычисление углов:Угол между первой парой прямых:

[
\tan(\theta_1) = \left| \frac{4 - 1}{1 + 4 \cdot 1} \right| = \left| \frac{3}{5} \right| = \frac{3}{5}
]

Угол между второй парой прямых:

[
\tan(\theta_2) = \left| \frac{-3 - (-5)}{1 + (-3)(-5)} \right| = \left| \frac{2}{1 + 15} \right| = \left| \frac{2}{16} \right| = \frac{1}{8}
]

Угол между третьей парой прямых:

[
\tan(\theta_3) = \left| \frac{-\frac{1}{2} - 5}{1 + (-\frac{1}{2})(5)} \right| = \left| \frac{-\frac{11}{2}}{1 - \frac{5}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{11}{2}}{-\frac{3}{2}} \right| = \frac{11}{3}
]

Теперь у вас есть значения (\tan(\theta)) для всех 3 пар углов. Острый угол можно получить, найдя арктангенс каждого значения:

( \theta_1 = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) )( \theta_2 = \arctan\left(\frac{1}{8}\right) )( \theta_3 = \arctan\left(\frac{11}{3}\right) )

Вы можете вычислить углы в градусах с помощью калькулятора и выбрать наименьший угол.