Настя записала два натуральных числа, сумма которых равна 2024. Даша зачеркнула у одного из этих чисел цифру десятков и получила второе число. Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, какие числа могла записать Настя и какую цифру могла зачеркнуть Даша? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим два числа как ( x ) и ( y ), такие что ( x + y = 2024 ). Предположим, без ограничения общности, что Даша зачеркнула у числа ( x ) цифру десятков. Обозначим ( x ) как ( 10a + b ), где ( a ) — цифра десятков, а ( b ) — цифра единиц. После зачеркивания цифры десятков, у нас остается число ( b ).

Поскольку ( x + y = 2024 ), тогда:

[
y = 2024 - x = 2024 - (10a + b) = 2024 - 10a - b
]

Так как ( y ) — это результат зачеркивания, т.е. ( y = b ), мы можем записать уравнение:

[
b = 2024 - 10a - b
]

Отсюда следует:

[
2b = 2024 - 10a
]
[
b = \frac{2024 - 10a}{2}
]

Нам нужно, чтобы ( b ) было натуральным числом, а значит ( 2024 - 10a ) должно быть четным, а также ( a ) должно быть выбранным так, чтобы ( b ) оставалось от 0 до 9 (цифра единиц).

Первый шаг — убедимся, что ( 2024 - 10a ) точно четное при любом натуральном ( a ) (так как 2024 — четное). Далее, чтобы ( b ) был натуральным и находился в пределах от 0 до 9:

Решим первое неравенство:

[
2024 > 10a \implies a < 202.4
]

Так как ( a ) — это цифра десятков, максимальная возможная цифра — 9. Поэтому ( a ) может принимать значения от 0 до 9.

Решим второе неравенство:

[
2024 - 10a \leq 18 \implies 2006 \leq 10a \implies a \geq 200.6
]

Это не может быть выполнено для ( a ) от 0 до 9, поэтому нам нужно проверить все целые значения от 0 до 9 и подставить в:

[
b = \frac{2024 - 10a}{2}
]

Проверка возможных значений ( a ):

( a = 0 ):
( b = \frac{2024 - 10(0)}{2} = \frac{2024}{2} = 1012 ) (не подходит).

( a = 1 ):
( b = \frac{2024 - 10(1)}{2} = \frac{2014}{2} = 1007 ) (не подходит).

( a = 2 ):
( b = \frac{2024 - 10(2)}{2} = \frac{2004}{2} = 1002 ) (не подходит).

( a = 3 ):
( b = \frac{2024 - 10(3)}{2} = \frac{1994}{2} = 997 ) (не подходит).

( a = 4 ):
( b = \frac{2024 - 10(4)}{2} = \frac{1984}{2} = 992 ) (не подходит).

( a = 5 ):
( b = \frac{2024 - 10(5)}{2} = \frac{1974}{2} = 987 ) (не подходит).

( a = 6 ):
( b = \frac{2024 - 10(6)}{2} = \frac{1964}{2} = 982 ) (не подходит).

( a = 7 ):
( b = \frac{2024 - 10(7)}{2} = \frac{1954}{2} = 977 ) (не подходит).

( a = 8 ):
( b = \frac{2024 - 10(8)}{2} = \frac{1944}{2} = 972 ) (не подходит).

( a = 9 ):
( b = \frac{2024 - 10(9)}{2} = \frac{1934}{2} = 967 ) (не подходит).

Мы видим, что все проверки показывают неверные (небольшие) результаты в любой из возможностей, так как ( b ) должно быть двузначным или однозначным. Таким образом, Даша не могла зачеркнуть ни одно из чисел, чтобы число оставалось в границах 0-9.

Таким образом, возможных решений, которые соответствуют условиям задачи, нет.