Чтобы сократить дробь ( \frac{3y^2 + y - 2}{4 - 9y^2} ), сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель ( 3y^2 + y - 2 ):

Для начала найдем корни уравнения ( 3y^2 + y - 2 = 0 ) с помощью формулы дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25
]

Корни:

[
y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]

[
y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1
]

Таким образом, можно разложить числитель:

[
3y^2 + y - 2 = 3(y - \frac{2}{3})(y + 1)
]

2. Разложим знаменатель ( 4 - 9y^2 ):

Это выражение можно привести к форме разности квадратов:

[
4 - 9y^2 = 2^2 - (3y)^2 = (2 - 3y)(2 + 3y)
]

3. Теперь подставим разложенные формы в дробь:

[
\frac{3(y - \frac{2}{3})(y + 1)}{(2 - 3y)(2 + 3y)}
]

4. Сократим дробь:

Сократим на общий множитель, если он имеется. В данном случае, не видим, чтобы был общий множитель, который можно сократить. Поэтому итогово:

[
\frac{3(y - \frac{2}{3})(y + 1)}{(2 - 3y)(2 + 3y)}
]

Таким образом, дробь не сокращается.

Итоговое представление дроби:
[
\frac{3(3y + 2)(y + 1)}{(2 - 3y)(2 + 3y)}
]

Здесь множители в числителе и знаменателе уже не имеют общих факторов.