Доказательство неравенства можно выполнить с использованием неравенства Коши-Буняковского.
Рассмотрим выражение ( S = \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} ). Мы можем применить неравенство Коши-Буняковского к каждой дроби:
[\frac{ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{4} \quad \text{(по неравенству для средних)}]Это справедливо, поскольку:
[\frac{ab}{a + b} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{4}]
Аналогично, для других дробей мы можем записать:
[\frac{bc}{b + c} \leq \frac{b + c}{4}][\frac{ac}{a + c} \leq \frac{a + c}{4}]
Теперь сложим все неравенства:
[S \leq \frac{a + b}{4} + \frac{b + c}{4} + \frac{a + c}{4} = \frac{2a + 2b + 2c}{4} = \frac{a + b + c}{2}]
Теперь нам нужно ограничить сумму ( S ). Поскольку ( abc = 8 ), мы можем использовать неравенство АМ–ГМ:
[\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{8} = 2]
Отсюда получится:
[a + b + c \geq 6]
Таким образом, подставим в неравенство для ( S ):
[S \leq \frac{a + b + c}{2} \geq \frac{6}{2} = 3]
Таким образом, мы доказали, что
[S \leq 3.]
Итак,
[\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \leq 3,]
что и требовалось доказать.
Доказательство неравенства можно выполнить с использованием неравенства Коши-Буняковского.
Рассмотрим выражение ( S = \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} ). Мы можем применить неравенство Коши-Буняковского к каждой дроби:
[
\frac{ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{4} \quad \text{(по неравенству для средних)}
]
Это справедливо, поскольку:
[
\frac{ab}{a + b} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{4}
]
Аналогично, для других дробей мы можем записать:
[
\frac{bc}{b + c} \leq \frac{b + c}{4}
]
[
\frac{ac}{a + c} \leq \frac{a + c}{4}
]
Теперь сложим все неравенства:
[
S \leq \frac{a + b}{4} + \frac{b + c}{4} + \frac{a + c}{4} = \frac{2a + 2b + 2c}{4} = \frac{a + b + c}{2}
]
Теперь нам нужно ограничить сумму ( S ). Поскольку ( abc = 8 ), мы можем использовать неравенство АМ–ГМ:
[
\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{8} = 2
]
Отсюда получится:
[
a + b + c \geq 6
]
Таким образом, подставим в неравенство для ( S ):
[
S \leq \frac{a + b + c}{2} \geq \frac{6}{2} = 3
]
Таким образом, мы доказали, что
[
S \leq 3.
]
Итак,
[
\frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \leq 3,
]
что и требовалось доказать.