Теория Вероятности (Математика) Дана задача задача
ДСВ законом распределения
Х 6 3 1
Р 0.2 0.3 0.5
найти математическое ожидание; дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0.3, Найти числовые характеристики числа отказавших деталей, если испытанию будет подвергнуты 3 деталей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте решим ваши задачи по теории вероятностей.

Задача 1: Законы распределения

Даны дискретная случайная величина ( X ) и соответствующие вероятности ( P ):

( X )631( P )0.20.30.51. Математическое ожидание ( E(X) )

Математическое ожидание ( E(X) ) вычисляется по формуле:
[
E(X) = \sum (X_i \cdot P_i)
]

Подставим значения:
[
E(X) = (6 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0.3) + (1 \cdot 0.5) = 1.2 + 0.9 + 0.5 = 2.6
]

2. Дисперсия ( D(X) )

Дисперсия ( D(X) ) вычисляется по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]

Сначала находим ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (X_i^2 \cdot P_i)
]
Подставим значения:
[
E(X^2) = (6^2 \cdot 0.2) + (3^2 \cdot 0.3) + (1^2 \cdot 0.5) = (36 \cdot 0.2) + (9 \cdot 0.3) + (1 \cdot 0.5)
]
[
E(X^2) = 7.2 + 2.7 + 0.5 = 10.4
]

Теперь находим дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 10.4 - (2.6)^2 = 10.4 - 6.76 = 3.64
]

3. Среднее квадратичное отклонение (СКО)

Среднее квадратичное отклонение ( \sigma_X ) вычисляется как:
[
\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3.64} \approx 1.91
]

Ответ для задачи 1:Математическое ожидание ( E(X) = 2.6 )Дисперсия ( D(X) = 3.64 )Среднее квадратичное отклонение ( \sigma_X \approx 1.91 )Задача 2: Вероятность отказа детали

Вероятность отказа детали ( p = 0.3 ). Мы подвержаем испытанию 3 детали.

1. Числовые характеристики числа отказавших деталей

Количество отказов можно описать биномиальным распределением:

( n = 3 ) (количество испытаний)( p = 0.3 ) (вероятность успеха)

1.1. Математическое ожидание ( E(N) ) [
E(N) = n \cdot p = 3 \cdot 0.3 = 0.9
]

1.2. Дисперсия ( D(N) ) [
D(N) = n \cdot p \cdot (1 - p) = n \cdot p \cdot q = 3 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.63
]

1.3. Среднее квадратичное отклонение ( \sigma_N ) [
\sigma_N = \sqrt{D(N)} = \sqrt{0.63} \approx 0.79
]

Ответ для задачи 2:Математическое ожидание ( E(N) = 0.9 )Дисперсия ( D(N) = 0.63 )Среднее квадратичное отклонение ( \sigma_N \approx 0.79 )