Площадь поверхности пирамиды Плоский угол при вершине правильной девятиугольной пирамиды равна 30 градусов , а боковое ребро – 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной девятиугольной пирамиды, нам сначала нужно определить высоту боковых треугольников, а затем площадь каждого из них.

Определим высоту бокового треугольника:

Пусть ( S ) – это высота бокового треугольника, ( a ) – длина бокового ребра (8 см), а угол при вершине — 30 градусов. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты ( S ):

[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{s}
]

где ( \alpha ) – угол при вершине (в данном случае 30 градусов), ( h ) – высота бокового треугольника (которая нам нужна), и ( s ) – расстояние от вершины пирамиды до середины основания (по сути, это высота, опущенная из вершины на середину ребра основания).

Из этого можно найти ( h ):

[
h = s \cdot \tan\left(\frac{30}{2}\right) = s \cdot \tan(15)
]

Теперь определим ( s ). Сначала найдем радиус вписанной окружности правильного девятиугольника, который может нам пригодиться для нахождения ( s ). Если ( R ) — это радиус описанной окружности, тогда длина стороны ( a ) будет равна:

[
s = R \cdot \cos\left(\frac{180}{n}\right)
]

где ( n = 9 ).

Радиус вписанной окружности ( R ) можно найти через длину бокового ребра ( a ) (8 см) и угол ( \alpha ).

Имейте в виду, что площадь боковой поверхности правильной девятиугольной пирамиды (( S_{бок} )) может быть рассчитана по формуле:

[
S{бок} = \frac{1}{2} \cdot P{основания} \cdot h
]

где ( P_{основания} ) — периметр основания, а ( h ) — высота бокового треугольника.

Поскольку ( P_{основания} ) — это периметр правильного девятиугольника, то он равен ( 9 \cdot a ).

Подведя итог, давайте проведем вычисления более подробно.

Для нахождения высоты ( h ) треугольника, используя угол 30 градусов, можно использовать формулу:

[
h = a \cdot \sin(30) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}
]

Подсчитаем периметр основания:

Каждая сторона правильного девятиугольника равна ( s ). Узнать длину стороны можно через радиус описанной окружности, но для определения самой площади мы можем использовать формулу:

[
P_{основания} = 9s \rightarrow s = 8 \cdot \cos\left(\frac{180}{9}\right)
]

В итоге площадь боковой поверхности будет равна:

[
S{бок} = \frac{1}{2} \cdot P{основания} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (9s) \cdot 4
]

Вам нужно подставить значения и вычислить.

Финальный результат для S:

Вычисляем значение каждой части и итоговую площадь боковой поверхности.