Начертите тетраэдр ABCD проведя в нем сечение MNK где AM:MD=BN:ND=CK:KD=3:2. Найдите площадь сечения MNK

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти площадь сечения MNK в тетраэдре ABCD, проведем следующие шаги:

Определим точки M, N и K. У нас задано отношение отрезков:

( AM : MD = 3 : 2 )( BN : ND = 3 : 2 )( CK : KD = 3 : 2 )

Это означает, что точки M, N и K делят ребра AD, BD и CD соответственно на отрезки в пропорции 3:2. Если обозначить точки A, B, C, D соответственно как ( A(0, 0, 0) ), ( B(1, 0, 0) ), ( C(0, 1, 0) ) и ( D(0, 0, 1) ), то:

Точка M находится на ребре AD:
[
M = \left(0, 0, \frac{2}{5}\right)
]Точка N находится на ребре BD:
[
N = \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{2}{5}\right)
]Точка K находится на ребре CD:
[
K = \left(0, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}\right)
]

Найдем координаты точек M, N и K:

Координаты точки ( M (0, 0, 0) + \frac{2}{5} (0, 0, 1) = (0, 0, \frac{2}{5}) )Координаты точки ( N (1, 0, 0) + \frac{2}{5} (0, 0, 1) = (1, 0, \frac{2}{5}) )Координаты точки ( K (0, 1, 0) + \frac{2}{5} (0, 0, 1) = (0, 1, \frac{2}{5}) )

Площадь треугольника MNK. Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} |
]

Найдем векторы:

( \overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{3}{5}, 0, 0 \right) )( \overrightarrow{MK} = K - M = \left( 0, \frac{3}{5}, 0 \right) )

Теперь найдем векторное произведение ( \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} ):
[
\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
\frac{3}{5} & 0 & 0 \
0 & \frac{3}{5} & 0
\end{vmatrix} =
\hat{i} \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot \frac{3}{5} \right) -
\hat{j} \left( \frac{3}{5} \cdot 0 - 0 \cdot \frac{3}{5} \right) +
\hat{k} \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} - 0 \cdot 0 \right) =
\hat{k} \cdot \frac{9}{25}
]

Модуль векторного произведения:
[
| \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} | = \frac{9}{25}
]

Найдем площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{25} = \frac{9}{50}
]

Таким образом, площадь сечения MNK равна ( \frac{9}{50} ).