Определить тип дифференциального уравнения в частных производ ных 2-го порядка и привести его к каноническому виду

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения типа дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, необходимо рассмотреть общее уравнение второго порядка:

[
A(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C(x, y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D(x, y) \frac{\partial u}{\partial x} + E(x, y) \frac{\partial u}{\partial y} + F(x, y) u = G(x, y)
]

где ( A, B, C, D, E, F, G ) – функции от ( x ) и ( y ).

Тип дифференциального уравнения второго порядка определяется коэффициентами ( A, B, C ):

Эллиптическое: Если ( B^2 - 4AC < 0 ).Гиперболическое: Если ( B^2 - 4AC = 0 ).Параболическое: Если ( B^2 - 4AC > 0 ).Приведение к каноническому виду

После определения типа уравнения, его можно привести к каноническому виду. Процесс зависит от типа уравнения:

Эллиптическое уравнение можно привести к следующим каноническим формам:
[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
]
в случае для уравнения Лапласа или аналогичных.

Гиперболическое уравнение имеет канонический вид, например:
[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
]
(волновое уравнение).

Параболическое уравнение может быть приведено к:
[
\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0
]
(уравнение теплопроводности).

Пример

Если дано уравнение:

[
3 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
]

Выделим коэффициенты:

( A = 3 )( B = 4 )( C = 2 )

Посчитаем дискриминант:
[
B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0
]

Это говорит о том, что уравнение — эллиптическое.

После этого, с помощью замен переменных (если необходимо) можно привести его к каноническому виду, например, с использованием некоторых преобразований в координатах. Это может быть сделано с помощью решения соответствующих уравнений, что может потребовать дополнительных шагов.