Докажите, что в линейно упорядоченном поле F выполняется теорема о гранях <=> F - максимальное архимедово поле. Максимальное архимедово = т.е. вcякое упорядоченное поле K, включающее в себя F в качестве собственного упорядоченного подполя, не является архимедовым.
Проще говоря, аксиому непрерывности можно вот так вот эквивалентным способом через архимедовость переписать.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать, что в линейно упорядоченном поле ( F ) выполняется теорема о гранях, нам нужно показать, что ( F ) является максимальным архимедовым полем, если и только если не существует архимедового расширения ( K ) поля ( F ), то есть существует такое упорядоченное поле ( K ), которое содержит ( F ) как собственное упорядоченное подполе и не является архимедовым.

Пусть ( F ) является максимальным архимедовым полем. Предположим, что существует упорядоченное поле ( K ) такое, что ( F \subsetneq K ) и ( K ) является архимедовым. Поскольку ( K ) архимедово, для любого элемента ( c \in K ) найдется натуральное число ( n \in \mathbb{N} ), такое что ( n > c ). В частности, для любого элемента ( x \in F ) (поскольку ( F \subset K )), также для него выполнено данное условие.

Так как ( F ) максимальное архимедово, это означает, что если ( K ) - архимедово, то ( K ) должно быть включено в ( F ). Однако это противоречит тому, что мы предполагали ( F \subsetneq K ). Таким образом, если ( F ) является максимальным архимедовым полем, то не существует архимедового расширения ( K ) поля ( F ).

Теперь предположим, что для любого архимедова поля ( K ), содержащего ( F ) как собственное подполе, поле ( K ) не является архимедовым. Нам нужно показать, что ( F ) является максимальным архимедовым полем.

Допустим, что существует некоторое упорядоченное поле ( K ), такое что ( F \subsetneq K ). Если ( K ) не является архимедовым, то должны существовать такие элементы ( a \in K ) и ( b \in K ), что для любого ( n \in \mathbb{N} ) выполняется ( n \cdot a > b ).

Если ( K ) не архимедово, то существует элемент ( a \in K ), который не может быть «переработан» с помощью натуральных чисел, что противоречит предположению, что ( K ) является расширением ( F ), в то время как ( F ) - максимальное архимедово поле. Если ( K ) не является архимедовым, значит ( K ) не может содержать элемент, который был бы больше любого элемента в ( F ) после его расширения.

Таким образом, если они не могут быть упорядочены таким образом, что ( K ) оставалось бы архимедовым, это означает, что ( F ) является максимальным архимедовым полем, потому что расширения, которые включают ( F ), которое не может быть архимедовым, противоречат максимальному подразумеванию этого поля.

Таким образом, мы доказали, что в линейно упорядоченном поле ( F ) теорема о гранях эквивалентна тому, что ( F ) является максимальным архимедовым полем.