Задача с многочленом Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Ответ: 99
Но как доказать, что 100 не может быть?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи рассмотрим 100 чисел, которые обозначим как ( a_1, a2, \ldots, a{100} ). Обозначим их произведение через ( P = a_1 \cdot a2 \cdots a{100} ).

Гриша увеличивает каждое число на 1, превращая числа в ( a_1 + 1, a2 + 1, \ldots, a{100} + 1 ), и заметил, что произведение остается прежним:

[
(a_1 + 1)(a2 + 1) \cdots (a{100} + 1) = P.
]

Раскроем произведение слева:

[
P + (сумма \; всех \; a_i) + (сумма \; произведений \; пар \; (a_i, a_j)) + \cdots + 1 = P,
]

что приводит к уравнению:

[
(сумма \; всех \; a_i) + (сумма \; произведений \; пар) + \cdots + 1 = 0.
]

Чтобы это выражение было равно нулю, все слагаемые должны компенсировать друг друга. Это значит, что, по крайней мере, одно из ( a_i ) должно быть равным -1, чтобы одно доумножение 1, например ( a_i + 1 = 0 ) не влияло на произведение.

Теперь повторим процедуру ( k ) раз. После ( k ) увеличений числа будут выглядеть как:

[
a_1 + k, a2 + k, \ldots, a{100} + k.
]

При этом их произведение также должно оставаться равным ( P ):

[
(a_1 + k)(a2 + k) \cdots (a{100} + k) = P.
]

Как и ранее, у нас получится аналогичное уравнение, которое также должно упроститься.

Для ( k = 100 ) каждая ( a_i + k ) должна была бы равняться нулю (или стать меньше), так как изначально ( -1 ) у нас уже есть, а при 100 увеличениях:

[
a_i + 100 + 1 = 0 \iff a_i = -101,
]

что невозможно для 100 чисел.

Проверим максимальное значение ( k ):

Поэтому наибольшее возможное значение ( k ) равно 99.

В результате мы подчеркиваем, что невозможно, чтобы все 100 чисел оставались равными единице, ведь при увеличении на 100 одна из них станет недопустимой.

Для решения этой задачи рассмотрим 100 чисел, которые обозначим как ( a_1, a2, \ldots, a{100} ). Обозначим их произведение через ( P = a_1 \cdot a2 \cdots a{100} ).

Гриша увеличивает каждое число на 1, превращая числа в ( a_1 + 1, a2 + 1, \ldots, a{100} + 1 ), и заметил, что произведение остается прежним:

[

(a_1 + 1)(a2 + 1) \cdots (a{100} + 1) = P.

]

Раскроем произведение слева:

[

P + (сумма \; всех \; a_i) + (сумма \; произведений \; пар \; (a_i, a_j)) + \cdots + 1 = P,

]

что приводит к уравнению:

[

(сумма \; всех \; a_i) + (сумма \; произведений \; пар) + \cdots + 1 = 0.

]

Чтобы это выражение было равно нулю, все слагаемые должны компенсировать друг друга. Это значит, что, по крайней мере, одно из ( a_i ) должно быть равным -1, чтобы одно доумножение 1, например ( a_i + 1 = 0 ) не влияло на произведение.

Теперь повторим процедуру ( k ) раз. После ( k ) увеличений числа будут выглядеть как:

[

a_1 + k, a2 + k, \ldots, a{100} + k.

]

При этом их произведение также должно оставаться равным ( P ):

[

(a_1 + k)(a2 + k) \cdots (a{100} + k) = P.

]

Как и ранее, у нас получится аналогичное уравнение, которое также должно упроститься.

Для ( k = 100 ) каждая ( a_i + k ) должна была бы равняться нулю (или стать меньше), так как изначально ( -1 ) у нас уже есть, а при 100 увеличениях:

[

a_i + 100 + 1 = 0 \iff a_i = -101,

]

что невозможно для 100 чисел.

Проверим максимальное значение ( k ):

Если ( k = 99 ), то у нас 100 чисел, и хотя бы одно число должно быть равно -1. Это возможно.Если ( k = 100 ), как было ранее указано, одно число должно стать -101, что приводит к конфликту.

Поэтому наибольшее возможное значение ( k ) равно 99.

В результате мы подчеркиваем, что невозможно, чтобы все 100 чисел оставались равными единице, ведь при увеличении на 100 одна из них станет недопустимой.