Нужно решить 9.10 номер! cos2°cos28°-sin28°sin2°/cos47°cos2°+sin47°sin2°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте упростим данное выражение, используя тригономометрические формулы.

Выражение, которое мы будем упрощать:

[
\frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ}
]

Мы можем использовать формулы для косинуса и синуса разности/суммы углов:

Теперь применим эти формулы к числителю и знаменателю.

Числитель:

[
\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ = \cos(2^\circ + 28^\circ) = \cos 30^\circ
]

Поскольку (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), числитель равен (\frac{\sqrt{3}}{2}).

Знаменатель:

[
\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ = \cos(47^\circ - 2^\circ) = \cos 45^\circ
]

Поскольку (\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), знаменатель равен (\frac{\sqrt{2}}{2}).

Теперь подставим числитель и знаменатель обратно в выражение:

[
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}
]

Таким образом, окончательный ответ:

[
\frac{\sqrt{6}}{2}
]

Чтобы решить выражение

\[

\frac{\cos(2^\circ) \cos(28^\circ) - \sin(28^\circ) \sin(2^\circ)}{\cos(47^\circ) \cos(2^\circ) + \sin(47^\circ) \sin(2^\circ)},

\]

можно использовать формулы приведения. Мы воспользуемся формулой косинуса разности и формулой синуса суммы.

### Преобразование числителя:

Используем формулу для косинуса разности:

\[

\cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B) = \cos(A + B).

\]

В нашем случае:

\[

\cos(2^\circ) \cos(28^\circ) - \sin(28^\circ) \sin(2^\circ = \cos(2^\circ + 28^\circ) = \cos(30^\circ).

\]

Зная, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[

\cos(2^\circ) \cos(28^\circ) - \sin(28^\circ) \sin(2^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

\]

### Преобразование знаменателя:

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу для синуса суммы:

\[

\cos(A) \cos(B) + \sin(A) \sin(B) = \cos(A - B).

\]

В нашем случае:

\[

\cos(47^\circ) \cos(2^\circ) + \sin(47^\circ) \sin(2^\circ) = \cos(47^\circ - 2^\circ) = \cos(45^\circ).

\]

Зная, что \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\[

\cos(47^\circ) \cos(2^\circ) + \sin(47^\circ) \sin(2^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

\]

### Подставим результаты в выражение:

Теперь у нас есть:

\[

\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.

\]

Упрощаем:

\[

= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}.

\]

### Итог:

Таким образом, значение выражения

\[

\frac{\cos(2^\circ) \cos(28^\circ) - \sin(28^\circ) \sin(2^\circ)}{\cos(47^\circ) \cos(2^\circ) + \sin(47^\circ) \sin(2^\circ)} = \sqrt{\frac{3}{2}}.

\]