Коллинеарны ли векторы а = (1;-1;2) 6 = (2;2;-4)?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы проверить, коллинеарны ли векторы (\mathbf{a} = (1, -1, 2)) и (\mathbf{b} = (2, 2, -4)), нужно выяснить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью некоторого скаляра (k):

[
\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}
]

Это можно сделать, приравняв компоненты векторов:

[
2 = k \cdot 1 \
2 = k \cdot (-1) \
-4 = k \cdot 2
]

Теперь решим каждое уравнение:

Мы видим, что значение (k) не совпадает для всех уравнений (в первом (k = 2), а во втором и третьем (k = -2)).

Таким образом, векторы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) не коллинеарны.

Рассмотрим ещё раз, коллинеарны ли векторы \(\mathbf{a} = (1; -1; 2)\) и \(\mathbf{b} = (2; 2; -4)\).

Для того чтобы два вектора были коллинеарны, один должен быть пропорционален другому, то есть, должны существовать такие множители, при которых:

\[

\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}.

\]

Или, иначе говоря, каждый компонент \(\mathbf{b}\) должен быть равен соответствующему компоненту \(\mathbf{a}\), умноженному на одно и то же число \(k\). Тогда:

\[

\mathbf{a} = (1; -1; 2), \quad \mathbf{b} = (2; 2; -4)

\]

Запишем систему для каждого компонента:

\[

\begin{cases}

2 = k \cdot 1, \\

2 = k \cdot (-1), \\

-4 = k \cdot 2.

\end{cases}

\]

1. **Первое уравнение**: \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\).

2. **Второе уравнение**: \(2 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -2\).

Здесь сразу видно противоречие: \(k\) не может одновременно быть равен \(2\) и \(-2\).

### Вывод

Так как не существует одного числа \(k\), которое удовлетворяло бы всем уравнениям, векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) **не коллинеарны**.

Рассмотрим ещё раз, коллинеарны ли векторы \(\mathbf{a} = (1; -1; 2)\) и \(\mathbf{b} = (2; 2; -4)\).

Для того чтобы два вектора были коллинеарны, один должен быть пропорционален другому, то есть, должны существовать такие множители, при которых:

\[

\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}.

\]

Или, иначе говоря, каждый компонент \(\mathbf{b}\) должен быть равен соответствующему компоненту \(\mathbf{a}\), умноженному на одно и то же число \(k\). Тогда:

\[

\mathbf{a} = (1; -1; 2), \quad \mathbf{b} = (2; 2; -4)

\]

Запишем систему для каждого компонента:

\[

\begin{cases}

2 = k \cdot 1, \\

2 = k \cdot (-1), \\

-4 = k \cdot 2.

\end{cases}

\]

1. **Первое уравнение**: \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\).

2. **Второе уравнение**: \(2 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -2\).

Здесь сразу видно противоречие: \(k\) не может одновременно быть равен \(2\) и \(-2\).

### Вывод

Так как не существует одного числа \(k\), которое удовлетворяло бы всем уравнениям, векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) **не коллинеарны**.