Компланарны ли векторы l=a-5b+4x, m=4a-b+c, n=a+b-c, если векторы a,b,c не являются компланарными

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить, компланарны ли векторы ( \mathbf{l}, \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ), можно использовать так называемый критерий компланарности. Если векторы компланарны, то существует возможность записать один из векторов как линейную комбинацию остальных.

Векторы ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) не являются компланарными, значит, они не лежат в одной плоскости и образуют базис трехмерного пространства.

Теперь рассмотрим векторы:

[
\mathbf{l} = \mathbf{a} - 5\mathbf{b} + 4\mathbf{x}
]
[
\mathbf{m} = 4\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
]
[
\mathbf{n} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}
]

Сначала заметим, что все три вектора ( \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} ) зависят от вектора ( \mathbf{x} ). Если вектор ( \mathbf{x} ) является линейной комбинацией векторов ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ), то векторы ( \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} ) могут оказаться компланарными.

Тем не менее, если ( \mathbf{x} ) не является линейной комбинацией ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ), то векторы ( \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} ) не смогут быть компланарными. Для доказательства компланарности можно использовать определитель:

[
D = \det(\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n})
]

Если ( D = 0 ), то векторы компланарны, если ( D \neq 0 ), то они не компланарны.

Кратко: так как векторы ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) не компланарны, и вектор ( \mathbf{x} ) может изменять положение векторов ( \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} ), то для окончательного ответа необходимо знать, как именно вектор ( \mathbf{x} ) соотносится с ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ). Однако, если ( \mathbf{x} ) не является линейной комбинацией ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ), то векторы ( \mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n} ) не будут компланарными.

Определим, компланарны ли векторы \( \mathbf{l} = \mathbf{a} - 5\mathbf{b} + 4\mathbf{c} \), \( \mathbf{m} = 4\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} \) и \( \mathbf{n} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \), если векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) некомпланарны.

Три вектора будут компланарными, если их **смешанное произведение равно нулю**. Это можно записать так:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0.

\]

Вычислим смешанное произведение \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \) через определитель, используя координаты векторов:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] =

\begin{vmatrix}

1 & -5 & 4 \\

4 & -1 & 1 \\

1 & 1 & -1 \\

\end{vmatrix}.

\]

### Шаг 1: Вычислим определитель

Раскроем определитель по первой строке:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot

\begin{vmatrix}

-1 & 1 \\

1 & -1 \\

\end{vmatrix}

- (-5) \cdot

\begin{vmatrix}

4 & 1 \\

1 & -1 \\

\end{vmatrix}

+ 4 \cdot

\begin{vmatrix}

4 & -1 \\

1 & 1 \\

\end{vmatrix}.

\]

Теперь найдём значение каждого из малых определителей:

1. \( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0 \),

2. \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (1)(1) = -4 - 1 = -5 \),

3. \( \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (-1)(1) = 4 + 1 = 5 \).

Подставляем эти значения в выражение для определителя:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-5) + 4 \cdot 5.

\]

Считаем:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0 - 25 + 20 = -5.

\]

### Вывод

Поскольку \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \neq 0 \), векторы \( \mathbf{l} \), \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) **не компланарны**.

Определим, компланарны ли векторы \( \mathbf{l} = \mathbf{a} - 5\mathbf{b} + 4\mathbf{c} \), \( \mathbf{m} = 4\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} \) и \( \mathbf{n} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c} \), если векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) некомпланарны.

Три вектора будут компланарными, если их **смешанное произведение равно нулю**. Это можно записать так:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0.

\]

Вычислим смешанное произведение \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \) через определитель, используя координаты векторов:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] =

\begin{vmatrix}

1 & -5 & 4 \\

4 & -1 & 1 \\

1 & 1 & -1 \\

\end{vmatrix}.

\]

### Шаг 1: Вычислим определитель

Раскроем определитель по первой строке:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot

\begin{vmatrix}

-1 & 1 \\

1 & -1 \\

\end{vmatrix}

- (-5) \cdot

\begin{vmatrix}

4 & 1 \\

1 & -1 \\

\end{vmatrix}

+ 4 \cdot

\begin{vmatrix}

4 & -1 \\

1 & 1 \\

\end{vmatrix}.

\]

Теперь найдём значение каждого из малых определителей:

1. \( \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0 \),

2. \( \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (4)(-1) - (1)(1) = -4 - 1 = -5 \),

3. \( \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (4)(1) - (-1)(1) = 4 + 1 = 5 \).

Подставляем эти значения в выражение для определителя:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-5) + 4 \cdot 5.

\]

Считаем:

\[

[\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] = 0 - 25 + 20 = -5.

\]

### Вывод

Поскольку \( [\mathbf{l}, \mathbf{m}, \mathbf{n}] \neq 0 \), векторы \( \mathbf{l} \), \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) **не компланарны**.