Задача с векторами Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точка M середина стороны CD, точка N лежит на стороне BC так, что BN:NC = 2:5, вектор OA= вектору a, вектор OB= вектору b. Выразите вектор MN через векторы a и b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Поскольку диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах, точка O является серединой как AC, так и BD. Исходя из того, что векторы OA равны вектору a, а векторы OB равны вектору b, мы можем выразить остальные точки параллелограмма через векторы a и b.

Сначала найдем координаты точек C и D.

Для параллелограмма:

Тогда:

Теперь находим точку M – середину стороны CD. Рассмотрим координаты точки M:

[
\vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{\left( \frac{(\vec{b} - \vec{a})}{2} + \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2} \right)}{2} = \frac{(\vec{b})}{2} = \frac{\vec{b}}{2}
]

Теперь найдем точку N. Она делит сторону BC в отношении 2:5. Для этого определим координаты точки B и C:

[
\vec{B} = \vec{b}, \quad \vec{C} = \vec{O} + \frac{(\vec{b} - \vec{a})}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2}
]

С учетом заданного отношения BN:NC = 2:5, координаты точки N можно выразить как:

[
\vec{N} = \frac{5 \cdot \vec{B} + 2 \cdot \vec{C}}{5 + 2} = \frac{5 \cdot \vec{b} + 2 \cdot \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2}}{7}
]

Сначала упростим:
[
\vec{N} = \frac{5 \cdot \vec{b} + (\vec{b} + \vec{a})}{7} = \frac{6\vec{b} + \vec{a}}{7}
]

Теперь найдем вектор MN:

[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{6\vec{b} + \vec{a}}{7} - \frac{\vec{b}}{2}
]

Чтобы выполнить вычитание, найдем общий знаменатель (14):

[
\vec{MN} = \frac{12\vec{b} + 2\vec{a}}{14} - \frac{7\vec{b}}{14} = \frac{12\vec{b} + 2\vec{a} - 7\vec{b}}{14}
]

Упрощаем:

[
\vec{MN} = \frac{(12-7)\vec{b} + 2\vec{a}}{14} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{a}}{14}
]

Таким образом, вектор MN выражается через векторы a и b следующим образом:

[
\vec{MN} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{a}}{14}
]

ассмотрим параллелограмм ABCD. Поскольку диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах, точка O является серединой как AC, так и BD. Исходя из того, что векторы OA равны вектору a, а векторы OB равны вектору b, мы можем выразить остальные точки параллелограмма через векторы a и b.

Сначала найдем координаты точек C и D.

Для параллелограмма:

Вектор OD = 1/2(OB + OA) = (b + a)/2 Вектор OC = 1/2(OB - OA) = (b - a)/2

Тогда:

(\vec{D} = \vec{O} + \vec{OD} = \vec{O} + \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2})(\vec{C} = \vec{O} + \vec{OC} = \vec{O} + \frac{(\vec{b} - \vec{a})}{2})

Теперь находим точку M – середину стороны CD. Рассмотрим координаты точки M:

[

\vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{\left( \frac{(\vec{b} - \vec{a})}{2} + \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2} \right)}{2} = \frac{(\vec{b})}{2} = \frac{\vec{b}}{2}

]

Теперь найдем точку N. Она делит сторону BC в отношении 2:5. Для этого определим координаты точки B и C:

[

\vec{B} = \vec{b}, \quad \vec{C} = \vec{O} + \frac{(\vec{b} - \vec{a})}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2}

]

С учетом заданного отношения BN:NC = 2:5, координаты точки N можно выразить как:

[

\vec{N} = \frac{5 \cdot \vec{B} + 2 \cdot \vec{C}}{5 + 2} = \frac{5 \cdot \vec{b} + 2 \cdot \frac{(\vec{b} + \vec{a})}{2}}{7}

]

Сначала упростим:

[

\vec{N} = \frac{5 \cdot \vec{b} + (\vec{b} + \vec{a})}{7} = \frac{6\vec{b} + \vec{a}}{7}

]

Теперь найдем вектор MN:

[

\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{6\vec{b} + \vec{a}}{7} - \frac{\vec{b}}{2}

]

Чтобы выполнить вычитание, найдем общий знаменатель (14):

[

\vec{MN} = \frac{12\vec{b} + 2\vec{a}}{14} - \frac{7\vec{b}}{14} = \frac{12\vec{b} + 2\vec{a} - 7\vec{b}}{14}

]

Упрощаем:

[

\vec{MN} = \frac{(12-7)\vec{b} + 2\vec{a}}{14} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{a}}{14}

]

Таким образом, вектор MN выражается через векторы a и b следующим образом:

[

\vec{MN} = \frac{5\vec{b} + 2\vec{a}}{14}