Точная степень из суммы факториалов простых чисел? Сумма факториалов первых нескольких простых чисел оказалась точной степенью (выше первой). Сколько слагаемых может быть в такой сумме? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы рассмотреть задачу о точной степени суммы факториалов простых чисел, начнем с определения, что такая сумма принимает следующий вид:

[ S(n) = p_1! + p_2! + ... + p_n! ]

где ( p_1, p_2, \ldots, p_n ) — первые ( n ) простых чисел.

Мы можем отдельно рассмотреть небольшие значения ( n ) и вычислить соответствующие суммы факториалов простых чисел, чтобы понять, когда это может быть точной степенью.

Для ( n = 1 ):
[
S(1) = 2! = 2
]
Это можно выразить как ( 2^1 ).

Для ( n = 2 ):
[
S(2) = 2! + 3! = 2 + 6 = 8
]
Это равно ( 2^3 ).

Для ( n = 3 ):
[
S(3) = 2! + 3! + 5! = 2 + 6 + 120 = 128
]
Это равно ( 2^7 ).

Для ( n = 4 ):
[
S(4) = 2! + 3! + 5! + 7! = 2 + 6 + 120 + 5040 = 5168
]
Это не является степенью числа.

Для ( n = 5 ):
[
S(5) = 2! + 3! + 5! + 7! + 11! = 2 + 6 + 120 + 5040 + 39916800
]
Подсчет указывает, что это намного больше, чем результат.

Мы можем заметить, что ( n \geq 4 ) приведёт к значительным увеличениям из-за роста факториалов. Каждое добавленное значение фактически умножает сумму в несколько раз и не всегда дает возможность отделить чистую степень.

Таким образом, имеем следующие возможные ( n ):

Другие ( n ) (начиная с ( n=4 )) не дают точных степеней простых чисел.

Напоследок, все вышеизложенные вычисления подчеркивают, что никакие суммы с младшими значениями независимых факторов, по сути, не смогут составить истинную степень более высоких чисел.

Таким образом, достаточно проанализировав, можно сказать, что единственные ( n ), для которых сумма факториалов первых ( n ) простых чисел является точной степенью числа, — это 1, 2 и 3 (суммы равны соответственно ( 2^1, 2^3, 2^7 )).

Чтобы рассмотреть задачу о точной степени суммы факториалов простых чисел, начнем с определения, что такая сумма принимает следующий вид:

[ S(n) = p_1! + p_2! + ... + p_n! ]

где ( p_1, p_2, \ldots, p_n ) — первые ( n ) простых чисел.

Мы можем отдельно рассмотреть небольшие значения ( n ) и вычислить соответствующие суммы факториалов простых чисел, чтобы понять, когда это может быть точной степенью.

Для ( n = 1 ):

[

S(1) = 2! = 2

]

Это можно выразить как ( 2^1 ).

Для ( n = 2 ):

[

S(2) = 2! + 3! = 2 + 6 = 8

]

Это равно ( 2^3 ).

Для ( n = 3 ):

[

S(3) = 2! + 3! + 5! = 2 + 6 + 120 = 128

]

Это равно ( 2^7 ).

Для ( n = 4 ):

[

S(4) = 2! + 3! + 5! + 7! = 2 + 6 + 120 + 5040 = 5168

]

Это не является степенью числа.

Для ( n = 5 ):

[

S(5) = 2! + 3! + 5! + 7! + 11! = 2 + 6 + 120 + 5040 + 39916800

]

Подсчет указывает, что это намного больше, чем результат.

Мы можем заметить, что ( n \geq 4 ) приведёт к значительным увеличениям из-за роста факториалов. Каждое добавленное значение фактически умножает сумму в несколько раз и не всегда дает возможность отделить чистую степень.

Таким образом, имеем следующие возможные ( n ):

Для ( n = 1 ), ( S(1) = 2^1 )Для ( n = 2 ), ( S(2) = 2^3 )Для ( n = 3 ), ( S(3) = 2^7 )

Другие ( n ) (начиная с ( n=4 )) не дают точных степеней простых чисел.

Напоследок, все вышеизложенные вычисления подчеркивают, что никакие суммы с младшими значениями независимых факторов, по сути, не смогут составить истинную степень более высоких чисел.

Таким образом, достаточно проанализировав, можно сказать, что единственные ( n ), для которых сумма факториалов первых ( n ) простых чисел является точной степенью числа, — это 1, 2 и 3 (суммы равны соответственно ( 2^1, 2^3, 2^7 )).