Комбинаторика. 4 цифры, 3 известны 1 неизвестна. Есть комбинация из 4-х цифр, из них известны 3 - 1,4 и 7, 4-ая цифра неизвестна, т.е. может быть любой из 10 возможных. Цифры могут стоять в любом порядке (1х74, 471х, х417, 71х4 и т.п.). Сколько может быть комбинаций с такими параметрами?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти количество комбинаций, состоящих из 4 цифр, из которых 3 известны (1, 4 и 7), а 4-я неизвестна, рассмотрим следующие шаги:

Количество вариантов для неизвестной цифры: Неизвестная цифра может быть любой из 10 возможных (от 0 до 9).

Общее количество цифр: В каждой комбинации у нас есть 4 цифры, в которых 3 известны и 1 неизвестна.

Расположение цифр: Необходимо учесть, что известные цифры могут располагаться в любом порядке. Мы будем использовать формулу для перестановок с повторениями.

Перестановки: Мы можем считать:

Если 4-я цифра равна одной из известных (1, 4 или 7), например, когда неизвестная цифра — 1, у нас получится набор {1, 1, 4, 7}, а когда 7 — {1, 4, 7, 7}. В этих случаях количество разных перестановок меньше, так как есть повторы.Если 4-я цифра отличается от известных (например, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 9), то получаем разные наборы.

Теперь мы можем вычислить количество различных сочетаний на основе количества возможных неизвестных цифр.

Запись переменныхПусть ( x ) — количество диапазонов для неизвестной цифры, то есть ( x = 10 ) (от 0 до 9).Общее количество комбинаций

Если неизвестная цифра не равна 1, 4 или 7 — у нас будет набор из 4 различных цифр.
Количество способов расположить 4 разные цифры:
[
4! = 24
]

У нас 7 таких вариантов (0, 2, 3, 5, 6, 8, 9), для них:
[
7 \times 4! = 7 \times 24 = 168
]

Если неизвестная цифра равна 1, 4 или 7: рассмотрим:

1: набор {1, 1, 4, 7} дает (\frac{4!}{2!} = 12)4: набор {1, 4, 4, 7} дает (\frac{4!}{2!} = 12)7: набор {1, 4, 7, 7} дает (\frac{4!}{2!} = 12)

Суммируя варианты, мы имеем:
[
3 \times 12 = 36
]

Окончательное решение

Теперь складываем оба случая:
[
168 + 36 = 204
]

Таким образом, общее количество различных комбинаций цифр, учитывающих 3 известные и 1 неизвестную, составляет 204.