Имеется 6 шаров: 2 черных, 2 красных, 1 белый, 1 синий. Найти число способов, которыми можно разложить их в ряд по пять. Дайте объяснение для решения этой задачи

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи о том, сколько способов можно разложить 6 шаров (2 черных, 2 красных, 1 белый, 1 синий) в ряд, беря 5 шаров, нужно воспользоваться формулой для перестановок с учетом повторений.

Шаг 1: Выбор шаров

Мы можем выбрать:

2 черных и 2 красных (и 1 любой другой шар - белый или синий).2 черных, 1 красный, 1 белый и 1 синий.1 черный, 2 красных и 1 белый и 1 синий.2 красных, 2 черных и 1 любой другой.1 черный, 1 красный и 3 любых других (такое невозможно, так как всего 6 шаров).Шаг 2: Подсчет различных случаев

Теперь посчитаем каждую комбинацию:

Случай 1: 2 черных, 2 красных, 1 белый.

Выбор: 2 черных, 2 красных, 1 белый (C_1).Перестановки:
[
\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{4 \cdot 1} = 30.
]

Случай 2: 2 черных, 1 красный, 1 белый, 1 синий.

Выбор: 2 черных, 1 красный, 1 белый, 1 синий (C_2).Перестановки:
[
\frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2} = 60.
]

Случай 3: 1 черный, 2 красных, 1 белый, 1 синий.

Выбор: 1 черный, 2 красных, 1 белый, 1 синий (C_3).Перестановки:
[
\frac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2} = 60.
]

Случай 4: 2 красных, 2 черных, 1 любой другой (значит только синий).

Этот случай уже учтен в Случае 1.Шаг 3: Суммирование возможных вариантов

Теперь сложите количество способов из всех случаев:

[
30 (Случай 1) + 60 (Случай 2) + 60 (Случай 3) = 150.
]

Таким образом, итоговое число способов разложить 5 шаров в ряд равно 150.