Почему дроби именно так складывают/вычитают/умножают/делят нигде не видел объяснения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сложение, вычитание, умножение и деление дробей основываются на свойствах дробных чисел и соблюдают общие правила арифметики. Давайте рассмотрим каждую из операций подробно:

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить или вычесть дроби, необходимо, чтобы у них были одинаковые знаменатели. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.

Нахождение общего знаменателя:

Общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.Например, для дробей ( \frac{1}{3} ) и ( \frac{1}{4} ) общий знаменатель будет 12.

Приведение дробей к общему знаменателю:

( \frac{1}{3} = \frac{4}{12} ) (умножаем числитель и знаменатель на 4)( \frac{1}{4} = \frac{3}{12} ) (умножаем числитель и знаменатель на 3)

Сложение:

Теперь можно складывать:
[
\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
]

Вычитание:

Аналогично, вычитание выполняется по той же схеме:
[
\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}
]Умножение дробей

Чтобы умножить дроби, нужно просто умножить числители друг на друга и знаменатели друг на друга:

[
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}
]

Например:
[
\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}
]

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на обратную вторую дробь:

[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
]

Например:
[
\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \text{ (после сокращения)}
]

Важные моментыПри сложении и вычитании дробей важно, чтобы у дробей был общий знаменатель.Умножение и деление дробей проще, поскольку не требует приведения к общему знаменателю.Всегда можно сократить дроби на общие делители после выполнения операций.

Эти правила помогают систематично и последовательно выполнять арифметические операции с дробями.