Решить ДУ операторным методом: 2х''+ 5x' = 29 cost, x(0) = -1, x' (0) = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами операторным методом, мы начнем с записи уравнения:

[ 2x'' + 5x' = 29 \cos(t) ]

Теперь разделим все на 2, чтобы упростить:

[ x'' + \frac{5}{2} x' = \frac{29}{2} \cos(t) ]

Далее введем оператор ( D ), где ( D = \frac{d}{dt} ). Тогда уравнение можно переписать в операторной форме:

[ D^2 x + \frac{5}{2} D x = \frac{29}{2} \cos(t) ]

Теперь решим соответствующее однородное уравнение:

[ D^2 x + \frac{5}{2} D x = 0 ]

Характеристическое уравнение будет:

[ r^2 + \frac{5}{2} r = 0 ]

Факториализуем:

[ r(r + \frac{5}{2}) = 0 ]

Таким образом, корни: ( r_1 = 0 ) и ( r_2 = -\frac{5}{2} ).

Общее решение однородного уравнения:

[ x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}t} ]

Теперь найдем частное решение ( x_p(t) ) для неоднородной части. В данном случае, так как правой частью является ( \cos(t) ), мы попытаемся подобрать решение в виде:

[ x_p(t) = A \cos(t) + B \sin(t) ]

Теперь вычислим производные:

[ x_p'(t) = -A \sin(t) + B \cos(t) ]
[ x_p''(t) = -A \cos(t) - B \sin(t) ]

Подставим ( x_p(t) ) и его производные в исходное уравнение:

[
-A \cos(t) - B \sin(t) + \frac{5}{2} (-A \sin(t) + B \cos(t)) = \frac{29}{2} \cos(t)
]

После упрощения:

[
\left(-A + \frac{5}{2} B\right) \cos(t) + \left(-B - \frac{5}{2} A\right) \sin(t) = \frac{29}{2} \cos(t)
]

Теперь приравняем коэффициенты:

Из второго уравнения выразим ( B ):

[
B = -\frac{5}{2} A
]

Подставим это значение в первое уравнение:

[
-A + \frac{5}{2}\left(-\frac{5}{2} A\right) = \frac{29}{2}
]

Упрощая,

[
-A - \frac{25}{4}A = \frac{29}{2}
]

Объединим:

[
-\frac{29}{4} A = \frac{29}{2}
]

Теперь решим для ( A ):

[
A = -2
]

Теперь найдём ( B ):

[
B = -\frac{5}{2}(-2) = 5
]

Таким образом, частное решение будет:

[
x_p(t) = -2 \cos(t) + 5 \sin(t)
]

Теперь общее решение:

[
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}t} - 2 \cos(t) + 5 \sin(t)
]

Теперь воспользуемся начальными условиями для нахождения констант ( C_1 ) и ( C_2 ). Начальные условия:

Находим ( x(0) ):

[
x(0) = C_1 + C_2 - 2 = -1 \implies C_1 + C_2 = 1
]

Найдем производную ( x'(t) ):

[
x'(t) = C_2 \cdot \left(-\frac{5}{2} e^{-\frac{5}{2}t}\right) + 2 \sin(t) + 5 \cos(t)
]

Теперь подставим ( t = 0 ):

[
x'(0) = -\frac{5}{2} C_2 + 5 = 0 \implies -\frac{5}{2} C_2 = -5 \implies C_2 = 2
]

Теперь подставим значение ( C_2 ) в уравнение для ( C_1 ):

[
C_1 + 2 = 1 \implies C_1 = -1
]

Итак, окончательное решение:

[
x(t) = -1 + 2 e^{-\frac{5}{2}t} - 2 \cos(t) + 5 \sin(t)
]