Как это решить? В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между прямыми ВА1и СВ1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти угол между прямыми ( BA_1 ) и ( CB_1 ) в единичном кубе, начнем с того, что зададим координаты вершин куба следующим образом:

Теперь определим векторы для прямых ( BA_1 ) и ( CB_1 ):

Вектор ( BA_1 ):
[
BA_1 = A_1 - B = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1)
]

Вектор ( CB_1 ):
[
CB_1 = B_1 - C = (1, 0, 1) - (1, 1, 0) = (0, -1, 1)
]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами. Угол ( \theta ) между векторами ( \mathbf{u} ) и ( \mathbf{v} ) можно найти с помощью скалярного произведения:

[
\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}
]

Теперь найдем скалярное произведение ( BA_1 ) и ( CB_1 ):

[
BA_1 \cdot CB_1 = (-1, 0, 1) \cdot (0, -1, 1) = -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1
]

Теперь найдем длины векторов ( BA_1 ) и ( CB_1 ):

[
|BA_1| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
]

[
|CB_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}
]

Теперь подставим все в формулу:

[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}
]

Теперь найдем угол:

[
\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \text{ (или } 60^\circ\text{)}
]

Таким образом, угол между прямыми ( BA_1 ) и ( CB_1 ) равен ( 60^\circ ).