ABCD-ромб, AB=10, AC и BD диагонали ромба, угол ABO = 30 градусов. Найдите АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи, давайте воспользуемся свойствами ромба. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника.

Обозначим точки:

( O ) — точка пересечения диагоналей ( AC ) и ( BD ).( AB = 10 ).Угол ( ABO = 30^\circ ).

Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом (то есть ( \angle AOB = 90^\circ )), мы можем использовать тригонометрию.

В треугольнике ( ABO ):

( AO ) — половина диагонали ( AC ).( BO ) — половина диагонали ( BD ).

Так как ( AB ) является стороной ромба, по определению, у нас есть:

[
AB = \sqrt{AO^2 + BO^2}
]

Обозначим длины половин диагоналей следующим образом:

( AO = x )( BO = y )

Тогда:

[
10 = \sqrt{x^2 + y^2} \tag{1}
]

Также мы можем выразить ( x ) и ( y ) через угол ( ABO ). В треугольнике ( ABO ):

[
\sin(30^\circ) = \frac{BO}{AB} = \frac{y}{10} \implies y = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5
]

[
\cos(30^\circ) = \frac{AO}{AB} = \frac{x}{10} \implies x = 10 \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
]

Теперь подставим значения ( x ) и ( y ) в уравнение (1):

[
10 = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 5^2}
]

Посчитаем:

[
(5\sqrt{3})^2 + 5^2 = 75 + 25 = 100
]

Поэтому:

[
10 = \sqrt{100} = 10
]

Теперь находим длину диагонали ( AC ):

[
AC = 2 \cdot AO = 2x = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}
]

Таким образом, длина диагонали ( AC ) равна ( 10\sqrt{3} ).