Решите неравенство по алгебре. (5-х) (х-8) (х-6)²≤0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить неравенство ((5 - x)(x - 8)(x - 6)^2 \leq 0), сначала определим нули функции, равные нулю каждому из множителей.

(5 - x = 0 \Rightarrow x = 5)(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8)((x - 6)^2 = 0 \Rightarrow x = 6) (это корень кратности 2)

Нули: (x = 5), (x = 6) (двойной корень), (x = 8).

Теперь рассмотрим знаки выражения ((5 - x)(x - 8)(x - 6)^2) на интервалах, определённых корнями:

((- \infty, 5))((5, 6))((6, 8))((8, +\infty))

Теперь проверим знак выражения на каждом из интервалов:

Интервал ((- \infty, 5)): выберем (x = 0):
[
(5 - 0)(0 - 8)(0 - 6)^2 = 5 \cdot (-8) \cdot 36 < 0
]

Интервал ((5, 6)): выберем (x = 5.5):
[
(5 - 5.5)(5.5 - 8)(5.5 - 6)^2 = (-0.5)(-2.5)(-0.5^2) < 0
]

Интервал ((6, 8)): выберем (x = 7):
[
(5 - 7)(7 - 8)(7 - 6)^2 = (-2)(-1)(1) > 0
]

Интервал ((8, +\infty)): выберем (x = 9):
[
(5 - 9)(9 - 8)(9 - 6)^2 = (-4)(1)(9) < 0
]

Итак, мы нашли знаки на интервалах:

На интервале ((- \infty, 5)) — отрицательное;На интервале ((5, 6)) — отрицательное;На интервале ((6, 8)) — положительное;На интервале ((8, +\infty)) — отрицательное.

Теперь определим, где выражение ((5 - x)(x - 8)(x - 6)^2) меньше или равно нулю. Мы учитываем, что корень (x = 6) имеет кратность 2, значит он не меняет знак и будет выявляться как точка, где (f(6) = 0).

Таким образом, решение неравенства:
[
x \in (-\infty, 5] \cup [6, 6] \cup [8, +\infty)
]

Записывая решение в более компактной форме, мы имеем:
[
x \in (-\infty, 5] \cup [6, 8].
]