Вершины треугольника ABC Дана координаты вершин треугольника ABC. Записать 1) длину стороны AB 2) уравнение высоты CD опущенной из вершины C на сторону AB 3) уравнение медианы AE 4) уравнение окружности для которой медиана AE служит диаметром A (-4; 8) B (8; -1) C (12; 21)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи давайте поочередно найдем необходимые элементы:

1) Длина стороны AB

Сначала найдём координаты вершин:

Длину отрезка AB можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставим координаты точек A и B:
[
AB = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (-1 - 8)^2} = \sqrt{(8 + 4)^2 + (-1 - 8)^2} = \sqrt{12^2 + (-9)^2}
]
[
AB = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15
]

2) Уравнение высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB

Сначала найдем уравнение прямой AB. Для этого используем координаты A и B. Угловой коэффициент прямой AB:
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 8}{8 - (-4)} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4}
]
Уравнение прямой в форме ( y - y_1 = k(x - x1) ):
[
y - 8 = -\frac{3}{4}(x + 4)
]
Распишем это уравнение:
[
y - 8 = -\frac{3}{4}x - 3 \implies y = -\frac{3}{4}x + 5
]
Теперь находим перпендикулярное уравнение высоты CD, которое имеет угловой коэффициент, равный отрицательному обратному угловому коэффициенту AB:
[
k{CD} = \frac{4}{3}
]
Используем координаты точки C(12, 21):
[
y - 21 = \frac{4}{3}(x - 12)
]
Распишем это уравнение:
[
y - 21 = \frac{4}{3}x - 16 \implies y = \frac{4}{3}x + 5
]

3) Уравнение медианы AE

Сначала найдем координаты середины стороны BC. Для этого воспользуемся средними значениями координат:

Середина E:
[
E\left( \frac{8 + 12}{2}, \frac{-1 + 21}{2} \right) = E\left( 10, 10 \right)
]

Теперь находим уравнение прямой AE. Угловой коэффициент:
[
k_{AE} = \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A} = \frac{10 - 8}{10 - (-4)} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}
]
Уравнение прямой AE будет:
[
y - 8 = \frac{1}{7}(x + 4)
]
Распишем:
[
y - 8 = \frac{1}{7}x + \frac{4}{7} \implies y = \frac{1}{7}x + \frac{60}{7}
]

4) Уравнение окружности, для которой медиана AE является диаметром

Центр окружности будет находиться в середине отрезка AE, который мы уже нашли ранее. Координаты центра O:
[
O\left( \frac{-4 + 10}{2}, \frac{8 + 10}{2} \right) = O\left( 3, 9 \right)
]
Далее находим радиус:
Длина медианы AE уже имеется:
[
AE = \sqrt{(10 - (-4))^2 + (10 - 8)^2} = \sqrt{(14)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
]
Радиус окружности равен половине длины медианы:
[
R = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}
]
Уравнение окружности:
[
(x - 3)^2 + (y - 9)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50
]

Итак: 1) Длина стороны AB: ( 15 )
2) Уравнение высоты CD: ( y = \frac{4}{3}x + 5 )
3) Уравнение медианы AE: ( y = \frac{1}{7}x + \frac{60}{7} )
4) Уравнение окружности: ( (x - 3)^2 + (y - 9)^2 = 50 )