Две задачи: первая попроще, вторая посложнее? Задача №1: Енастеринин Октоторп
Новое действие # (эта "решётка" называется словом "октоторп", потому что у неё 8 концов)
определено следующим образом: p#q=(p^2-2)(q-1).
Чему равно 0#(1#(2#(3#(4#(5#(6#(7#(8#(9#10)))))))))?
Задача №2: Любопытное свойство числа 54, не связанное с десятичной системой счисления
У числа 54 есть любопытное свойство. А именно, сумма его делителей равна факториалу суммы его простых делителей. Найдётся ли хотя бы ещё одно натуральное число с таким свойством?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Задача №1: Енастеринин Октоторп

Для начала давайте разберемся с операцией ( p # q = (p^2 - 2)(q - 1) ).

Начнем с вычисления ( 1 # (2 # (3 # (4 # (5 # (6 # (7 # (8 # (9 # 10))))))))) ).

Вычислим ( 9 # 10 ):
[
9 # 10 = (9^2 - 2)(10 - 1) = (81 - 2)(9) = 79 \cdot 9 = 711
]

Далее, вычислим ( 8 # 711 ):
[
8 # 711 = (8^2 - 2)(711 - 1) = (64 - 2)(710) = 62 \cdot 710 = 44020
]

Теперь, ( 7 # 44020 ):
[
7 # 44020 = (7^2 - 2)(44020 - 1) = (49 - 2)(44019) = 47 \cdot 44019 = 2066093
]

Следующий шаг — вычислим ( 6 # 2066093 ):
[
6 # 2066093 = (6^2 - 2)(2066093 - 1) = (36 - 2)(2066092) = 34 \cdot 2066092 = 70207288
]

Затем вычисляем ( 5 # 70207288 ):
[
5 # 70207288 = (5^2 - 2)(70207288 - 1) = (25 - 2)(70207287) = 23 \cdot 70207287 = 1614768401
]

Теперь, ( 4 # 1614768401 ):
[
4 # 1614768401 = (4^2 - 2)(1614768401 - 1) = (16 - 2)(1614768400) = 14 \cdot 1614768400 = 22606557600
]

Далее, ( 3 # 22606557600 ):
[
3 # 22606557600 = (3^2 - 2)(22606557600 - 1) = (9 - 2)(22606557599) = 7 \cdot 22606557599 = 158295902193
]

Затем вычислим ( 2 # 158295902193 ):
[
2 # 158295902193 = (2^2 - 2)(158295902193 - 1) = (4 - 2)(158295902192) = 2 \cdot 158295902192 = 316591804384
]

Наконец, ( 1 # 316591804384 ):
[
1 # 316591804384 = (1^2 - 2)(316591804384 - 1) = (1 - 2)(316591804383) = -1 \cdot 316591804383 = -316591804383
]

Итак, ответ на задачу №1:
[
0 # (1 # (2 # (3 # (4 # (5 # (6 # (7 # (8 # (9 # 10)))))))))
= -316591804383
]

Задача №2: Любопытное свойство числа 54

Для числа 54 его простые делители: ( 2 ) и ( 3 ). Сначала найдем их сумму:
[
2 + 3 = 5
]
Теперь найдем факториал этой суммы:
[
5! = 120
]
Теперь найдем сумму делителей числа 54. Его делители: ( 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 ).

Сумма делителей:
[
1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 + 27 + 54 = 120
]

Теперь мы ищем еще одно натуральное число, у которого бы сумма делителей совпадала с факториалом суммы его простых делителей.

Найдём еще одно число для проверки: например, ( 36 ).

Простые делители ( 36: 2, 3 ), сумма = ( 2 + 3 = 5 ).( 5! = 120 ).Делители ( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ).Сумма делителей:
[
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91 \quad (\text{не совпадает})
]

Можно также проверить число ( 60 ):

Простые делители ( 60: 2, 3, 5 ), сумма ( 2 + 3 + 5 = 10 ).( 10! = 3628800 ) (очень большое).Делители ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ).Сумма: ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 + 12 + 15 + 20 + 30 + 60 = 168 \quad (\text{не совпадает}) ).

Для чисел меньше ( 54 ), вернувшись к простым делителям, мы можем заметить, что числа с таким свойством, как у ( 54 ) единичны либо очень редки.

По результатам работы, помимо числа ( 54 ), другого более мелкого кружка числа с подобным свойством не найдено, но стоит продолжить разрабатывать дальше числа. Можно проверить ряд натуральных чисел, но они могут быть сложными и вводить ошибку. Может быть, найдется еще один, но на текущий момент:

Ответ на задачу №2:
Не найдено других натуральных чисел с представленным свойством кроме 54.