Катя нарисовала у себя в тетради квадраты с четными сторонами от 2 клеток до 2024 клеток. Ира же под каждым Катиным квадратом нарисовала прямоугольник с тем же периметром, но на 1 меньшей ширины, чем у квадрата. У кого из девочек получилась большая суммарная площадь (в клетках) и на сколько?

9 Ноя в 19:41
109 +2
0
Ответы
2

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения суммарных площадей квадратов, которые нарисовала Катя, и прямоугольников, которые нарисовала Ира.

Площадь квадрата Кати:
Квадраты имеют четные стороны от 2 до 2024 клеток. То есть, стороны квадратов будут 2, 4, 6, ..., 2024. Это арифметическая прогрессия с первым членом ( a_1 = 2 ) и последним ( a_n = 2024 ), разность ( d = 2 ).

Количество членов в этой прогрессии можно найти по формуле для n-ого члена:
[
n = \frac{2024 - 2}{2} + 1 = 1012
]

Площадь квадрата со стороной ( a ):
[
S{\text{квадрат}} = a^2
]
Суммарная площадь квадратов будет:
[
S{\text{Кати}} = \sum{k=1}^{1012} (2k)^2 = 4 \sum{k=1}^{1012} k^2
]
Сумма квадратов первых n натуральных чисел:
[
\sum{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
]
Подставим ( n = 1012 ):
[
\sum{k=1}^{1012} k^2 = \frac{1012 \cdot (1012 + 1) \cdot (2 \cdot 1012 + 1)}{6} = \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6}
]

Таким образом,
[
S_{\text{Кати}} = 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6}
]

Площадь прямоугольника Иры:
Периметр квадрата со стороной ( a ) равен ( P = 4a ). Для прямоугольника с шириной на 1 меньше стороны квадрата, если ширина ( w = a-1 ), то длину прямоугольника можно обозначить как ( l = \frac{P}{2} - w = 2a - (a-1) = a + 1 ).

Площадь прямоугольника Иры:
[
S_{\text{Иры}} = (a-1)(a+1) = a^2 - 1
]

Суммарная площадь прямоугольников:
[
S{\text{Иры}} = \sum{k=1}^{1012} ((2k)^2 - 1) = \sum{k=1}^{1012} (4k^2 - 1) = 4 \sum{k=1}^{1012} k^2 - \sum_{k=1}^{1012} 1
]
[
= 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6} - 1012
]

Сравнение площадей:
Площадь квадратов:
[
S{\text{Кати}} = 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6}
]
Площадь прямоугольников:
[
S{\text{Иры}} = 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6} - 1012
]

Теперь видно, что:
[
S{\text{Кати}} - S{\text{Иры}} = 1012
]

Таким образом, у Кати площадь больше, чем у Иры на 1012 клеток.

9 Ноя в 19:52

Две клетки - 1 см. 2024 клетки - 1012 см, то есть 10 м с хвостиком. Таких тетрадей не бывает.

10 Ноя в 00:41
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 93 661 автору
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир