Катя нарисовала у себя в тетради квадраты с четными сторонами от 2 клеток до 2024 клеток. Ира же под каждым Катиным квадратом нарисовала прямоугольник с тем же периметром, но на 1 меньшей ширины, чем у квадрата. У кого из девочек получилась большая суммарная площадь (в клетках) и на сколько?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения суммарных площадей квадратов, которые нарисовала Катя, и прямоугольников, которые нарисовала Ира.

Площадь квадрата Кати:
Квадраты имеют четные стороны от 2 до 2024 клеток. То есть, стороны квадратов будут 2, 4, 6, ..., 2024. Это арифметическая прогрессия с первым членом ( a_1 = 2 ) и последним ( a_n = 2024 ), разность ( d = 2 ).

Количество членов в этой прогрессии можно найти по формуле для n-ого члена:
[
n = \frac{2024 - 2}{2} + 1 = 1012
]

Площадь квадрата со стороной ( a ):
[
S{\text{квадрат}} = a^2
]
Суммарная площадь квадратов будет:
[
S{\text{Кати}} = \sum{k=1}^{1012} (2k)^2 = 4 \sum{k=1}^{1012} k^2
]
Сумма квадратов первых n натуральных чисел:
[
\sum{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
]
Подставим ( n = 1012 ):
[
\sum{k=1}^{1012} k^2 = \frac{1012 \cdot (1012 + 1) \cdot (2 \cdot 1012 + 1)}{6} = \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6}
]

Таким образом,
[
S_{\text{Кати}} = 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6}
]

Площадь прямоугольника Иры:
Периметр квадрата со стороной ( a ) равен ( P = 4a ). Для прямоугольника с шириной на 1 меньше стороны квадрата, если ширина ( w = a-1 ), то длину прямоугольника можно обозначить как ( l = \frac{P}{2} - w = 2a - (a-1) = a + 1 ).

Площадь прямоугольника Иры:
[
S_{\text{Иры}} = (a-1)(a+1) = a^2 - 1
]

Суммарная площадь прямоугольников:
[
S{\text{Иры}} = \sum{k=1}^{1012} ((2k)^2 - 1) = \sum{k=1}^{1012} (4k^2 - 1) = 4 \sum{k=1}^{1012} k^2 - \sum_{k=1}^{1012} 1
]
[
= 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6} - 1012
]

Сравнение площадей:
Площадь квадратов:
[
S{\text{Кати}} = 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6}
]
Площадь прямоугольников:
[
S{\text{Иры}} = 4 \cdot \frac{1012 \cdot 1013 \cdot 2025}{6} - 1012
]

Теперь видно, что:
[
S{\text{Кати}} - S{\text{Иры}} = 1012
]

Таким образом, у Кати площадь больше, чем у Иры на 1012 клеток.

Две клетки - 1 см. 2024 клетки - 1012 см, то есть 10 м с хвостиком. Таких тетрадей не бывает.