Дан куб ABCDA1B1C1D1.
На рёбрах B1C1 и C1D1 соответственно находятся точки N и M так, что B1N:NC1=1:4;C1M:MD1=1:3.
Определи косинус угла α между прямыми BN и CM, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте начнём с определения координат вершин куба ABCDA1B1C1D1 с длиной рёбер 1. Мы можем задать их следующим образом:

( A(0, 0, 0) )( B(1, 0, 0) )( C(1, 1, 0) )( D(0, 1, 0) )( A1(0, 0, 1) )( B1(1, 0, 1) )( C1(1, 1, 1) )( D1(0, 1, 1) )

Теперь найдем координаты точек ( N ) и ( M ).

Найдём координаты точки ( N ) на рёбе ( B1C1 ):

Ребро ( B1C1 ) имеет координаты:

( B1(1, 0, 1) )( C1(1, 1, 1) )

Соотношение ( B1N:NC1 = 1:4 ) означает, что ( N ) делит отрезок ( B1C1 ) в соотношении ( 1:4 ). Это значит, что ( N ) находится на (\frac{1}{5}) от длины отрезка от ( B1 ) к ( C1 ).

Так как вектор ( C1 - B1 = (0, 1, 0) ) и длина отрезка равна 1, можно найти ( N ):

[
N = B1 + \frac{1}{5}(C1 - B1) = (1, 0, 1) + \frac{1}{5}(0, 1, 0) = (1, \frac{1}{5}, 1).
]

Теперь найдём координаты точки ( M ) на рёбе ( C1D1 ):

Ребро ( C1D1 ) имеет координаты:

( C1(1, 1, 1) )( D1(0, 1, 1) )

Соотношение ( C1M:MD1 = 1:3 ) означает, что ( M ) делит отрезок ( C1D1 ) в соотношении ( 1:3 ). Это значит, что ( M ) находится на (\frac{1}{4}) от длины отрезка от ( C1 ) к ( D1 ).

Так как вектор ( D1 - C1 = (-1, 0, 0) ), можно найти координаты ( M ):

[
M = C1 + \frac{1}{4}(D1 - C1) = (1, 1, 1) + \frac{1}{4}(-1, 0, 0) = \left(1 - \frac{1}{4}, 1, 1\right) = \left(\frac{3}{4}, 1, 1\right).
]

Теперь нам нужно найти векторы ( \overrightarrow{BN} ) и ( \overrightarrow{CM} ).

Вектор ( \overrightarrow{BN} ):

[
\overrightarrow{BN} = N - B = \left(1, \frac{1}{5}, 1\right) - (1, 0, 0) = \left(0, \frac{1}{5}, 1\right).
]

Вектор ( \overrightarrow{CM} ):

[
\overrightarrow{CM} = M - C = \left(\frac{3}{4}, 1, 1\right) - (1, 1, 0) = \left(-\frac{1}{4}, 0, 1\right).
]

Теперь найдем косинус угла ( \alpha ) между векторами ( \overrightarrow{BN} ) и ( \overrightarrow{CM} ), используя формулу:

[
\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{BN}| |\overrightarrow{CM}|}.
]

Скалярное произведение:

[
\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = (0) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}\right) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1.
]

Длина векторов:

[
|\overrightarrow{BN}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{25} + 1} = \sqrt{\frac{26}{25}} = \frac{\sqrt{26}}{5},
]

[
|\overrightarrow{CM}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}.
]

Теперь подставим в формулу косинуса:

[
\cos \alpha = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right)} = \frac{20}{\sqrt{442}}.
]

Таким образом, мы можем представить ответ в виде:

[
\cos \alpha = \frac{20}{\sqrt{442}}.
]