По заданному значению функций найти значение остальных тригонометрических функций cos α = -12/13 π < α < 3π/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для заданного значения косинуса (\cos \alpha = -\frac{12}{13}) и угла (\alpha) в диапазоне (\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}) (т.е. в третьем квадранте), определим остальные тригонометрические функции.

Найдем значение синуса:

Сначала используем основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставим значение (\cos \alpha):
[
\sin^2 \alpha + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1
]
[
\sin^2 \alpha + \frac{144}{169} = 1
]
[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169}
]
[
\sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}
]
Теперь найдём (\sin \alpha):
[
\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}
]
Поскольку (\alpha) находится в третьем квадранте, где синус отрицателен, получаем:
[
\sin \alpha = -\frac{5}{13}
]

Найдем значение Тангенса:
[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}
]

Найдем значение Котангенса:
[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{12}{5}
]

Найдем значение Секанта:
[
\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1}{-\frac{12}{13}} = -\frac{13}{12}
]

Найдем значение Кошиента:
[
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{-\frac{5}{13}} = -\frac{13}{5}
]

Таким образом, итоговые значения тригонометрических функций для данного угла:

(\sin \alpha = -\frac{5}{13})(\cos \alpha = -\frac{12}{13})(\tan \alpha = \frac{5}{12})(\cot \alpha = \frac{12}{5})(\sec \alpha = -\frac{13}{12})(\csc \alpha = -\frac{13}{5})