Примеры с большой степенью Как рациональным способом (по моему там способ раскладывания на простые числа) узнать что больше 2024^2025 или 2025^2024

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить неравенство ( 2024^{2025} ) и ( 2025^{2024} ), можно использовать свойства логарифмов.

Сравним ( 2024^{2025} ) и ( 2025^{2024} ) следующим образом:

Возьмем логарифм от обеих сторон:
[
\log(2024^{2025}) \quad \text{и} \quad \log(2025^{2024})
]

Применим свойства логарифмов:
[
2025 \cdot \log(2024) \quad \text{и} \quad 2024 \cdot \log(2025)
]

Таким образом, нам нужно сравнить:
[
2025 \cdot \log(2024) \quad \text{и} \quad 2024 \cdot \log(2025)
]

Перепишем неравенство:
[
\frac{\log(2024)}{2024} \quad \text{и} \quad \frac{\log(2025)}{2025}
]

Теперь возьмем производные этих функций для определения их поведения:
[
f(x) = \frac{\log(x)}{x}
]

Найдем производную:
[
f'(x) = \frac{1 - \log(x)}{x^2}
]

Анализируя ( f'(x) ), можем понять, что функция ( f(x) ) возрастает на интервале ( (1, e) ) и убывает на ( (e, \infty) ). Поскольку ( 2024 ) и ( 2025 ) больше ( e ), то ( f(x) ) убывает на этом интервале.

Таким образом, поскольку ( 2024 < 2025 ):
[
f(2024) > f(2025) \Rightarrow \frac{\log(2024)}{2024} > \frac{\log(2025)}{2025}
]

Это означает, что:
[
2025 \cdot \log(2024) > 2024 \cdot \log(2025)
]

Следовательно:
[
2024^{2025} > 2025^{2024}
]

Таким образом, ответ: ( 2024^{2025} ) больше, чем ( 2025^{2024} ).