Задача с вош Муницип В бесконечной возрастающей последовательности a1, a2, ... натуральных чисел любые 2 соседних числа отличаются не более чем на миллион. Верно ли, что можно выбрать миллион членов этой последовательности так, чтобы их наибольшой общий делитель был больше миллиона?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, в данном случае можно утверждать, что можно выбрать миллион членов последовательности, у которых наибольший общий делитель (НОД) будет больше миллиона.

Давайте рассмотрим последовательность (a_1, a_2, a_3, \ldots), в которой каждый элемент отличается от предыдущего не более чем на миллион. Это значит, что разность между любыми двумя соседними членами последовательности находится в диапазоне от 1 до 1,000,000.

Теперь на каждом шаге, где мы будем брать по одному элементу, мы можем внимательно следить за тем, какие числа мы выбираем, чтобы среди них находились элементы, имеющие общий делитель. Если мы будем рассматривать элементы последовательности по модулю (k), где (k) больше миллиона, то из-за ограниченности разности между соседними элементами (не более миллиона) все элементы, которые мы выберем, будут разбиты по остаткам при делении на (k) на не более чем (k) различных классов.

Следовательно, если мы выберем миллион членов последовательности, они могут попасть в не более чем (k) различных классов остатков. Если (k) меньше миллиона, обязательно найдется как минимум один класс остатка, содержащий по крайней мере два элемента.

Таким образом, мы можем найти такие числа из последовательности, у которых наибольший общий делитель будет как минимум (k), превышающий миллион.

Таким образом, ответ на задачу - да, можно выбрать миллион членов последовательности так, чтобы их НОД был больше миллиона.