Задача с Муниципа ВСОШ Клетчатый прямоугольник периметра p удалось разрезать на 100 клетчатых прямоугольников, никакие 2 из которых не равны. У каждого из них есть сторона длины 2. Найдите наименьшее возможное значение p. Прямоугольники, которые отличаются поворотом, считаются одинаковыми.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим задачу о максимизации периметра ( p ) для условия, при котором мы можем разрезать клетчатый прямоугольник на 100 различных клетчатых прямоугольников с одной из сторон длиной 2.

Каждый клетчатый прямоугольник с одной стороной длиной 2 может иметь вторую сторону ( b ), которая является целым числом. Тогда площадь каждого прямоугольника будет равна ( 2b ).

Чтобы разрезать большой прямоугольник на 100 различных частей, надо обеспечить, чтобы сумма площадей всех этих частей не превышала площади исходного прямоугольника. Пусть ( H ) и ( W ) — высота и ширина изначального прямоугольника. Тогда его площадь равна ( HW ).

Сумма площадей 100 различных прямоугольников должна равняться:
[
\sum_{i=1}^{100} 2bi = 2 \sum{i=1}^{100} b_i
]
где ( b_i ) — длины второй стороны для каждого из 100 прямоугольников. Поскольку эти значения различны, мы можем взять ( bi = 1, 2, \ldots, 100 ), таким образом:
[
\sum{i=1}^{100} b_i = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050
]
Следовательно,
[
\text{Общая площадь} = 2 \cdot 5050 = 10100
]

Теперь мы должны установить связь между площадью и периметром ( p ). Поскольку площадь равна ( HW ), то:
[
HW = 10100
]

Периметр ( p ) вычисляется по формуле:
[
p = 2(H + W)
]

Чтобы минимизировать ( p ), нужно максимизировать произведение ( H \cdot W ) при фиксированной площади. Используем неравенство между средним и геометрическим:
[
\frac{H + W}{2} \geq \sqrt{HW} = \sqrt{10100}
]
Следовательно,
[
H + W \geq 2\sqrt{10100} \approx 200
]

Тогда:
[
p = 2(H + W) \geq 2 \cdot 200 = 400
]

Таким образом, минимальный возможный периметр соответствует случаю, когда ( H ) и ( W ) равны. Рекомендуем найти целочисленные значения ( H ) и ( W ), которые удовлетворяютоб этом. Распределим 10100 так, чтобы ( H = 100 ) и ( W = 101 ).

Тогда
[
p = 2(H + W) = 2 \cdot (100 + 101) = 2 \cdot 201 = 402
]

При таких значениях:

Периметр оказывается равным ( 402 ),И условия задачи выполняются: мы можем разрезать прямоугольник на 100 различных прямоугольников, имея одну сторону равной 2.

Таким образом, наименьшее возможное значение периметра ( p ) равно:
[
\boxed{402}.
]