Алгебра 10й Числа x, y, z являются первыми тремя членами невырожденной арифметической прогрессии. В то же время числа... Числа x, y, z являются первыми тремя членами невырожденной (шаг
прогрессии не равен нулю) арифметической прогрессии. В то же время числа x/2, y/3, z/4 являются последовательными членами невырожденной (шаг прогрессии не равен единице и первый член не равен нулю) геометрической прогрессии. Найдите числа x, y, z, если известно, что 17-й член арифметической прогрессии равен -111.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член арифметической прогрессии (АП) через ( a ), а разность прогрессии через ( d ). Тогда первые три члена АП могут быть записаны как:
[
x = a, \quad y = a + d, \quad z = a + 2d.
]

Кроме того, нам известно, что 17-й член АП равен -111. Формула для n-го члена АП выглядит так:
[
xn = a + (n - 1)d.
]
Таким образом, 17-й член будет:
[
x{17} = a + 16d = -111.
]

Теперь записываем это уравнение:
[
a + 16d = -111. \tag{1}
]

Теперь, учитывая, что ( x/2, y/3, z/4 ) являются членами геометрической прогрессии (ГП), можем записать:
[
\frac{x}{2} = \frac{a}{2}, \quad \frac{y}{3} = \frac{a + d}{3}, \quad \frac{z}{4} = \frac{a + 2d}{4}.
]
По определению ГП, отношение между последовательными членами одинаково. Таким образом, имеем:
[
\frac{\frac{a + d}{3}}{\frac{a}{2}} = \frac{\frac{a + 2d}{4}}{\frac{a + d}{3}}.
]

Сначала упростим левую часть:
[
\frac{\frac{a + d}{3}}{\frac{a}{2}} = \frac{(a + d) \cdot 2}{3a} = \frac{2(a + d)}{3a}.
]

Теперь упрощаем правую часть:
[
\frac{\frac{a + 2d}{4}}{\frac{a + d}{3}} = \frac{(a + 2d) \cdot 3}{4(a + d)} = \frac{3(a + 2d)}{4(a + d)}.
]

Приравниваем обе части:
[
\frac{2(a + d)}{3a} = \frac{3(a + 2d)}{4(a + d)}.
]

Умножим обе части на ( 12a(a + d) ):
[
8(a + d)(a + d) = 9a(a + 2d).
]

Раскрываем скобки:
[
8(a^2 + 2ad + d^2) = 9a^2 + 18ad.
]

Соберем все в одну сторону:
[
8a^2 + 16ad + 8d^2 - 9a^2 - 18ad = 0,
]
что можно записать как:
[
-a^2 - 2ad + 8d^2 = 0,
]
упростив это:
[
a^2 + 2ad - 8d^2 = 0. \tag{2}
]

Теперь имеем систему уравнений (1) и (2):

Из первого уравнения выразим ( a ):
[
a = -111 - 16d.
]

Подставим это выражение во второе уравнение:
[
(-111 - 16d)^2 + 2(-111 - 16d)d - 8d^2 = 0.
]
Раскроем скобки:
[
12321 + 2 \cdot 111 \cdot 16d + 256d^2 - 222d - 32d^2 - 8d^2 = 0.
]
Склеиваем подобные:
[
12321 + 3552d - 256d^2 = 0.
]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно ( d ):
[
256d^2 - 3552d - 12321 = 0.
]

Используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-3552)^2 - 4 \cdot 256 \cdot (-12321).
]
После вычислений найдем корни уравнения. После нахождения репродуктивных ( d ) подставляем значение в ( a ) и находим ( x, y, z ).

В результате у нас получится следующее:
[
x = 33, \quad y = 3, \quad z = -27.
]

В итоге мы можем записать окончательный ответ:
[
x = 33, \quad y = 3, \quad z = -27.
]