Степени числа 12 в центре интриги Насти и Даши? Настя заявила Даше, что задумала натуральное число, у которого количество делителей, кратных трём, на 1 больше, чем количество делителей, кратных четырём.

«Тогда ты наверняка задумала либо число 3, либо степень числа 12 с натуральным показателем», — ответила Даша.

Насколько утверждение Даши является математически обоснованным?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберем утверждение Насти и Даши.

Настя заявляет, что задумала натуральное число (N), у которого количество делителей, кратных трём, на 1 больше, чем количество делителей, кратных четырём. Обозначим:

(d_3(N)) — количество делителей числа (N), кратных 3,(d_4(N)) — количество делителей числа (N), кратных 4.

Настя утверждает, что:
[
d_3(N) = d_4(N) + 1.
]

Даша отвечает, что Настя, вероятно, задумала либо число 3, либо степень числа 12 с натуральным показателем. Разберем это утверждение.

Подсчёт делителей

Если (N) представляется в виде разложения:
[
N = 2^a \cdot 3^b \cdot p_1^{c_1} \cdots p_k^{c_k},
]
где (p_1, \ldots, p_k) — разные простые числа, не равные 2 и 3.

Количество делителей числа (N) можно выразить как:
[
d(N) = (a+1)(b+1)(c_1+1) \cdots (c_k+1).
]

Количество делителей, кратных 3: Чтобы делитель был кратен 3, он должен содержать хотя бы один фактор 3. Таким образом:
[
d_3(N) = (a+1)(b)(c_1+1) \cdots (c_k+1).
]

Количество делителей, кратных 4: Чтобы делитель был кратен 4, он должен содержать хотя бы два фактора 2. Таким образом:
[
d_4(N) = (a-1)(b+1)(c_1+1) \cdots (c_k+1) \quad (при \, a \geq 2).
]

Итак, подставим в уравнение Насти:
[
(a+1)(b) \, = \, (a-1)(b+1) + 1.
]

Проверим числа

Для (N = 3):

(d_3(3) = 1) (только сам 3),(d_4(3) = 0) (у 3 нет делителей, кратных 4).

Условие выполняется:
[
1 = 0 + 1.
]

Для (N = 12^k):

Например, пусть (N = 12^k = (2^2 \cdot 3^1)^k = 2^{2k} \cdot 3^k).

Тогда:
[
d_3(12^k) = (2k+1)(k+1)
]
(потому что (b=1)),

[
d_4(12^k) = (2k-1)(k+1) \quad (при \, k \geq 1).
]

Подставляем в уравнение:
[
(2k+1)(k+1) = (2k-1)(k+1) + 1.
]
Упрощая, получаем:
[
2k + 1 = 2k - 1 + 1.
]

Условие также выполняется для всех натуральных (k).

Таким образом, Даша действительно правильно определила, что число 3 и степени числа 12 удовлетворяют условию, выдвинутому Настей. Но Даша могла ошибиться в том, что это единственные случаи, хотя, по имеющимся данным, они действительно подходят.

Ответ

Утверждение Даши обосновано, но оно не является единственным возможным вариантом. В общем случае число, соответствующее условиям, может быть иным, но в контексте предложенных вариантов оно верно.