Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x² y=x+1 (с чертежом)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (y = 2x^2) и (y = x + 1), сначала нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Для этого равняем их:

[
2x^2 = x + 1
]

Переносим все в одну сторону уравнения:

[
2x^2 - x - 1 = 0
]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
]

Теперь находим корни уравнения:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4}
]

Таким образом, получаем два корня:

[
x_1 = \frac{4}{4} = 1
]
[
x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
]

Теперь мы нашли точки пересечения: (x = -\frac{1}{2}) и (x = 1).

Теперь находим площадь между кривыми от (x = -\frac{1}{2}) до (x = 1). Площадь можно определить как интеграл разности функций:

[
S = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} [(x + 1) - (2x^2)] \, dx
]

Вычислим этот интеграл:

[
S = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (x + 1 - 2x^2) \, dx
]

Сначала найдём неопределённый интеграл:

[
\int (x + 1 - 2x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} + x - \frac{2x^3}{3} + C
]

Теперь подставим пределы:

[
S = \left[ \frac{x^2}{2} + x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-\frac{1}{2}}^{1}
]

Сначала подставим (x = 1):

[
\left[\frac{1^2}{2} + 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right] = \left[\frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{3}\right] = \left[\frac{3}{6} + \frac{6}{6} - \frac{4}{6}\right] = \frac{5}{6}
]

Теперь подставим (x = -\frac{1}{2}):

[
\left[\frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} + (-\frac{1}{2}) - \frac{2 \cdot (-\frac{1}{2})^3}{3}\right] = \left[\frac{\frac{1}{4}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot \frac{1}{8}}{3}\right] = \left[\frac{1}{8} - \frac{4}{8} + \frac{1}{12}\right]
]

Приведем к общему знаменателю:

[
\frac{1}{8} - \frac{4}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} - \frac{12}{24} + \frac{2}{24} = \frac{-7}{24}
]

Теперь высчитываем площадь:

[
S = \left( \frac{5}{6} - \left( -\frac{7}{24} \right) \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{24}
]

Приведем к общему знаменателю:

[
\frac{5}{6} = \frac{20}{24} \Rightarrow S = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}
]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми (y = 2x^2) и (y = x + 1), равна (\frac{9}{8}).

ЧертежПостроим графики функций (y = 2x^2) и (y = x + 1).Отметим точки пересечения на графике - ((-1/2, 1/4)) и ((1, 2)).Обозначим область, ограниченную этими кривыми.

Пожалуйста, используйте графический редактор для рисования, чтобы более точно визуализировать данную область.