Может ли вектор составлять с координатными осями углы 90°, 120°, 60°? Ответ обосновать.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Вектор в трехмерном пространстве задается направлением и длиной. Угол, который вектор образует с координатными осями, может быть определен с помощью скалярного произведения.

Углы между вектором ( \vec{v} = (x, y, z) ) и координатными осями определяются по следующей формуле:

[
\cos(\theta_i) = \frac{v_i}{||\vec{v}||}
]

где ( \theta_i ) — угол между вектором и i-ой осью, ( v_i ) — соответствующая координата вектора (x, y или z), ( ||\vec{v}|| ) — длина вектора, которая вычисляется как:

[
||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
]

Угол ( \theta ) между вектором и осью может принимать значения от 0° до 180°. Для вектора, который образует угол 90° с любой осью, соответствующая координата должна быть равна 0, так как (\cos(90°) = 0). Это означает, что вектор будет перпендикулярен данной оси. Таким образом, вектор может образовать угол 90° с одной из координатных осей.

Для углов 60° и 120° углы между вектором и осями определяются через косинус.

[
\cos(60°) = 0.5 \quad \text{и} \quad \cos(120°) = -0.5
]

Это означает, что для угла 60° вектор имеет положительную компоненту (например, ( x ) или ( y ) или ( z )), а для угла 120° — отрицательную компоненту. Однако важно, чтобы сумма квадратов компонент вектора была корректной.

Таким образом, вектор может образовать углы:

Следовательно, вектор может составлять углы 90°, 120° и 60° с координатными осями, но при этом необходимо правильно распределить значения его компонент для соблюдения условий.