Математика, область определения и множество значений функции y=(x-7)/x^¼

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для функции ( y = \frac{x - 7}{x^{1/4}} ) сначала определим область определения — те значения ( x ), для которых функция имеет смысл.

Область определения:Знаменатель ( x^{1/4} ) должен быть не равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, ( x^{1/4} \neq 0 ), что означает, что ( x \neq 0 ).Поскольку ( x^{1/4} ) — это корень, ( x ) должен быть неотрицательным, чтобы функция была определена. Однако, так как ( x ) не может быть равным нулю, мы имеем условие ( x > 0 ).

Из этого следует, что область определения функции:
[
D = (0, +\infty).
]

Множество значений: Чтобы найти множество значений, рассмотрим поведение функции:

[
y = \frac{x - 7}{x^{1/4}}.
]

Функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от ( x ).

При ( x \to 0^+ ) (то есть, когда ( x ) стремится к нулю с положительной стороны), ( x - 7 ) будет отрицательным, а ( x^{1/4} ) положительным, поэтому ( y \to -\infty ).При больших значениях ( x ) (например, ( x \to +\infty )), ( y ) будет стремиться к ( +\infty ), так как при больших ( x ) член ( -7 ) становится незначительным по сравнению с ( x ).

Чтобы более точно определить, какие значения принимает функция, можно проанализировать её производную и найти точки экстремума, но из общих соображений видно, что функция может принимать значения от ( -\infty ) до ( +\infty ).

Таким образом, множество значений функции:
[
\text{Множество значений} = (-\infty, +\infty).
]