Теория чисел. Домашние задание. Махмасоатов Шербек. 1) Покажите, что в арифметической последовательности $4n+1$, Содержите бесконечно много различных простых чисел. Здесь n - натуральные числа. (а) Покажите, что любой простой делить p числа $m^2 -1$, где Здесь m- натуральные числа, Либо равен 2, либо имеет вид $4n+1$. (б) Используйте рассуждение Евклида о бесконечности всех простых чисел для подходящего m.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи, давайте разобьем её на две части, соответствующие (а) и (б).

(а) Доказательство того, что любой простой делитель ( p ) числа ( m^2 - 1 ) либо равен 2, либо имеет вид ( 4n + 1 )

Рассмотрим выражение ( m^2 - 1 ). Оно можно представить так:
[
m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1).
]
Обратите внимание, что ( m - 1 ) и ( m + 1 ) — это два последовательных целых числа, и их свойства делимости могут быть различными.

Пусть ( p ) — простой делитель ( m^2 - 1 ). Рассмотрим случаи для ( m ) по модулю 4:

Если ( m \equiv 0 \mod 2 ) (то есть ( m ) четное): В этом случае оба числа ( m - 1 ) и ( m + 1 ) нечетные, следовательно, ( p ) не может делить оба из них, кроме случая, когда ( p = 2 ). Если ( p ) простой и делит ( m^2 - 1 ), то ( p ) может равняться только 2.

Если ( m \equiv 1 \mod 2 ) (то есть ( m ) нечетное): В этом случае ( m - 1 ) — четное (и, следовательно, может быть делим на 2), а ( m + 1 ) — также четное. Это значит, что ( 2 ) может быть делителем.
Таким образом, все нечетные простые делители ( p ) должны делить одно из ( m - 1 ) или ( m + 1 ). Следует рассмотреть их остатки при делении на 4:

( m - 1 \equiv 0 \mod 4 ) (если ( m \equiv 1 \mod 4 ))( m - 1 \equiv 2 \mod 4 ) (если ( m \equiv 3 \mod 4 ))( m + 1 \equiv 2 \mod 4 ) (если ( m \equiv 1 \mod 4 ))( m + 1 \equiv 0 \mod 4 ) (если ( m \equiv 3 \mod 4 ))

В любом случае, любой нечетный простой делитель ( p ) числа ( m^2 - 1 ) может быть либо ( p = 2 ) и тогда он делит ( 2 ), либо он должен соответствовать форме ( 4n + 1 ), что подтверждается классическим результатом в теории чисел о делителях.

(б) Использование рассуждений Евклида о бесконечности простых чисел

Теперь покажем, что в последовательности ( 4n + 1 ) существуют бесконечно много простых чисел.

Предположим, что количество простых чисел вида ( 4n + 1 ) конечно и их количество равно ( p_1, p_2, \ldots, p_k ). Теперь мы создадим новое число ( N ) следующим образом:
[
N = 4(p_1 p_2 \cdots p_k) + 1.
]
Заметим, что ( N ) имеет вид ( 4n + 1 ). Рассмотрим возможные делители ( N ).

( N ) не делится ни на одно простое число ( p_i ), потому что при делении ( N ) на ( p_i ) мы находим, что
[
N \equiv 1 \mod p_i,
]
что означает, что ( N ) не может быть делим на ( p_i ).

Таким образом, ( N ) либо простое, либо имеет другой делитель, не входящий в перечень наших ( p_i ). В любом случае, мы пришли к противоречию, потому что так как делителей больше, чем всего лишь конечное число, значит существует хотя бы одно другое простое число вида ( 4n + 1 ).

Таким образом, мы тем самым доказали, что в последовательности ( 4n + 1 ) содержится бесконечно много различных простых чисел.