Решите задачу по математике Скоростной поезд «Комета» отправляется из города N в город M. По пути поезд делает несколько остановок. Из города N выехало 2024 пассажира. На первой остановке в поезд сели 5 пассажиров, а на каждой следующей остановки на 3 пассажира больше, чем на предыдущей. Кроме того на каждой остановке выходят 30 пассажиров. Сколько остановок сделал поезд во время пути, если в город М прибыло 2167 пассажиров?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество остановок за ( n ).

В начале в поезде было 2024 пассажира.На первой остановке в поезд сели 5 пассажиров, на второй - ( 5 + 3 = 8 ), на третьей - ( 8 + 3 = 11 ), и так далее. На ( n )-ой остановке в поезд сели ( 5 + 3(n - 1) ) пассажиров.

Сумма пассажиров, которые сели в поезд за ( n ) остановок, может быть найдена по формуле суммы арифметической прогрессии. Первые ( n ) членов прогрессии начинаются с 5 и имеют разность 3, что можно записать так:
[
S_n = 5 + 8 + 11 + \ldots + (5 + 3(n - 1))
]

Чтобы найти сумму, воспользуемся формулой:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где ( a_1 = 5 ) - первый член, а ( a_n = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2 ) - последний член. Следовательно,
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (5 + (3n + 2)) = \frac{n}{2} \cdot (3n + 7) = \frac{3n^2 + 7n}{2}.
]

На каждой остановке выходит 30 пассажиров, значит за ( n ) остановок вышло ( 30n ) пассажиров.

В итоге количество пассажиров в поезде после ( n ) остановок:
[
P = 2024 + S_n - 30n = 2024 + \frac{3n^2 + 7n}{2} - 30n.
]

Обозначим это равенство:
[
P = 2024 + \frac{3n^2 + 7n - 60n}{2} = 2024 + \frac{3n^2 - 53n}{2}.
]

По условию, количество пассажиров, прибывших в город M, равно 2167. Поэтому:
[
2024 + \frac{3n^2 - 53n}{2} = 2167.
]

Вычтем 2024 из обеих сторон:
[
\frac{3n^2 - 53n}{2} = 143.
]

Умножим обе стороны на 2:
[
3n^2 - 53n = 286.
]

Переносим все в одну сторону:
[
3n^2 - 53n - 286 = 0.
]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-53)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-286) = 2809 + 3432 = 6241.
]

Находим ( n ):
[
n = \frac{53 \pm \sqrt{6241}}{2 \cdot 3} = \frac{53 \pm 79}{6}.
]

Теперь найдём два возможных значения ( n ):

( n_1 = \frac{132}{6} = 22 ).( n_2 = \frac{-26}{6} ), что не имеет смысла, так как количество остановок не может быть отрицательным.

Таким образом, наш ответ:
[
\boxed{22}.
]