Решить уравнение методов выделения полного квадрата 5x^2-6x-7=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить уравнение (5x^2 - 6x - 7 = 0) методом выделения полного квадрата, сначала упростим его, разделив все части уравнения на 5:

[
x^2 - \frac{6}{5} x - \frac{7}{5} = 0.
]

Теперь мы выделим полный квадрат. Для этого сначала перенесём свободный член в правую часть уравнения:

[
x^2 - \frac{6}{5} x = \frac{7}{5}.
]

Теперь найдём, какое значение нужно добавить к левой части, чтобы получить полный квадрат. Мы берем половину коэффициента при (x) (то есть (-\frac{6}{5})), делим его на 2 и возводим в квадрат:

[
\left(\frac{-\frac{6}{5}}{2}\right)^2 = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}.
]

Теперь добавим это значение и с левой, и с правой стороны:

[
x^2 - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25} = \frac{7}{5} + \frac{9}{25}.
]

Приведем правую часть к общему знаменателю (25):

[
\frac{7}{5} = \frac{35}{25},
]

поэтому:

[
\frac{35}{25} + \frac{9}{25} = \frac{44}{25}.
]

Теперь мы можем записать левую часть как полный квадрат:

[
\left(x - \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{44}{25}.
]

Теперь извлечём корень из обеих сторон:

[
x - \frac{3}{5} = \pm \sqrt{\frac{44}{25}}.
]

Корень из правой части можем записать как:

[
x - \frac{3}{5} = \pm \frac{\sqrt{44}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{11}}{5}.
]

Теперь добавим (\frac{3}{5}) к обеим частям уравнения:

[
x = \frac{3}{5} \pm \frac{2\sqrt{11}}{5}.
]

Записываем окончательное решение:

[
x = \frac{3 + 2\sqrt{11}}{5} \quad \text{или} \quad x = \frac{3 - 2\sqrt{11}}{5}.
]